Twierdzenie o kojarzeniu małżeństw

Z Wikipedii

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria grafów.

Najważniejsze pojęcia graf drzewo podgraf cykl klika stopień wierzchołka dopełnienie grafu obwód grafu pokrycie wierzchołkowe liczba chromatyczna indeks chromatyczny izomorfizm grafów homeomorfizm grafów więcej... Wybrane klasy grafów graf pełny graf spójny drzewo graf dwudzielny graf regularny graf eulerowski graf hamiltonowski graf planarny więcej... Algorytmy grafowe A* Bellmana-Forda Breadth-first search Depth-first search Dijkstry Fleury'ego Floyda-Warshalla Johnsona Kruskala Prima przeszukiwanie grafu najbliższego sąsiada Zagadnienia przedstawiane jako problemy grafowe problem komiwojażera problem chińskiego listonosza problem kojarzenia małżeństw Inne zagadnienia kod Graya diagram Hassego

edytuj ten szablon

Twierdzenie o kojarzeniu małżeństw - przypisywane zazwyczaj Philipowi Hallowi twierdzenie dotyczące istnienia pełnego skojarzenia grafu dwudzielnego, sformuowane w roku 1935. Jest ono często ilustrowane poprzez przedstawienie następującego problemu:

Mamy dwie grupy - dziewcząt i chłopców, oraz pewną sieć znajomości, to znaczy wiemy, których chłopców z tej grupy zna każda z dziewczyn. Kiedy zachodzi sytuacja, w której każdej dziewczynie można przyporządkować jednego kandydata na męża? Oczywiście, tacy kandydaci nie mogą się powtarzać.

Rozwiązanie tak postawionego problemu nosi nazwę twierdzenia o kojarzeniu małżeństw.

Okazuje się, ze warunkiem konieczym i warunkiem wystarczającym na to, by istniało takie skojarzenie par, jest to, by każda podgrupa dziewcząt, licząca k-osób, znała co najmniej k-chłopców.

Spis treści 1 Twierdzenie 1.1 Wersja dla grafów 1.2 Wersja dla transwersal 2 Dowód 3 Zobacz też

[edytuj] Twierdzenie

Twierdzenie można przełożyć na język matematyki na kilka sposobów:

[edytuj] Wersja dla grafów

Niech G = (V,E) będzie grafem, i niech będą rozłącznymi podzbiorami zbioru wierzchołków, , takimi, że jeśli e jest dowolną krawędzią grafu i e = {v,u}, to spełniony jest warunek

,

czyli graf G jest grafem dwudzielnym. Wówczas w tym grafie istnieje skojarzenie, którego krawędzie są incydentne ze wszystkimi wierzchołkami z V₁ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego podzbioru wierzchołków zachodzi nierówność

,

gdzie W jest zbiorem wierzchołków należących do V₂ i mających wspólną krawędź z wierzchołkiem z K

Jeżeli moce zbiorów K,W są równe, to takie skojarzenie jest pełne (doskonałe).

[edytuj] Wersja dla transwersal

Twierdzenie Halla dla transwersal mówi, że dla rodziny R istnieje transwersala wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej k-elementowej podrodziny rodziny R mnogościowa suma wszystkich składowych tej podrodziny ma k lub więcej elementów.

dla każdego .

[edytuj] Dowód

Podany dowód jest sformułowany dla transwersal, dla grafów jest on analogiczny.

Oczywiste jest, iż jest to warunek konieczny, bowiem gdyby nie był on spełniony i suma mnogościowa pewnej elementów pewnej rodziny zbiorów miała mniej niż k-elementów, to nie byłoby możliwe wybranie k-elementowego podzbioru złożonego z elementów tej sumy.

Wystarczalność warunku można udowodnić, korzystając z indukcji matematycznej. Przez n oznaczę ilość podzbiorów zbioru . Zauważmy, że dla n = 1 twierdzenie jest prawdziwe, bowiem można wybrać jeden dowolny element z S₁. Niech n > 1. Zakładamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla .

Jeżeli dla danego n mnogościowa suma zbiorów ma więcej niż n elementów, to twierdzenie jest prawdziwe, wystarcz bowiem wybrać dowolny element k zbioru , utworzyć transwersalę dla n-1-elementowej rodziny zbiorów (co jest możliwe na mocy założenia indukcyjnego) oraz dołączyć do niej element k.

W przeciwnym wypadku istnieje pewien podzbiór J (właściwy) zbioru taki, że suma mnogościowa wszystkich elementów zbiorów jest równa ilości elementów zbioru J. Wybierzmy teraz transwersalę dla rodziny oraz rodziny , gdzie , zaś . Dla obu rodzin na mocy założenia indukcyjnego istnieją transwersale, i są one rozłączne, co wynika z powyższych warunków. Poszukiwaną transwersalą jest więc zbiór, będący sumą tych transwersal.

[edytuj] Zobacz też

• graf dwudzielny

Wyjazdowe obrady klubu PO: wraca sprawa Staroń

Podczas wyjazdowego posiedzenia klubu PO w miejscowości Ossa k. Rawy Mazowieckiej Lidia Staroń czyniła wyrzuty kolegom, że nie wsparli jej po publikacji "Rzeczpospolitej". Gazeta napisała, że Staroń zarobiła kilkaset tysięcy zł, bo ustawa, nad którą pracowała, pozwoliła jej uwłaszczyć lokal usługowy. Donald Tusk - relacjonuje zastrzegający anonimowość uczestnik obrad - poparł Staroń, natomiast Zbigniew Chlebowski nie zabrał głosu.

Pierwsza ofiara mrozu. Mężczyzna znaleziony na Podkarpaciu

45-letni mężczyzna jest najprawdopodobniej pierwszą tegoroczną ofiarą mrozów na Podkarpaciu. Policjanci wyjaśniają dokładne przyczyny śmierci mieszkańca Trzebuski. Mężczyznę znaleziono niespełna sto metrów od jego domu. Wiele wskazuje na to, że zmarł w wyniku wychłodzenia organizmu.

Pacelt do dymisji, dostanie nowe zadania

Ostrowiecki poseł Platformy Obywatelskiej Zbigniew Pacelt zostanie odwołany ze stanowiska wiceministra sportu. Teraz będzie odpowiadał za przygotowania reprezentacji Polski do igrzysk w Londynie.

Osiedlowy zespół ukradł sprzęt Acid Drinkers

Policjanci odzyskali sprzęt muzyczny należący do zespołu Acid Drinkers. Złodziejami okazali się 17-letni Jakub K. i 18-letni Paweł K., członkowie osiedlowego zespołu z Ełku. Za kradzież odpowiedzą przed sądem. Grozi im nawet pięć lat więzienia.

Pijany policjant spowodował kolizję

26-letni pijany policjant spowodował w sobotę w Elblągu kolizję. Funkcjonariusz, który miał w wydychanym powietrzu 2,5 promila alkoholu, straci pracę. Czeka go także sprawa karna - poinformowała Justyna Grzeczka z elbląskiej policji.

Drugie podejście PO do ustawy o mediach

PO wraca do rozmów z lewicą o zmianach w mediach. W przyszłym tygodniu politycy Platformy maja wyłożyć na stół nowy projekt ustawy medialnej - dowiedział się "Dziennik".

PiS zaniepokojone sprawą posłów Sejmu Litwy z Kartą Polaka

PiS jest zaniepokojone sprawą posłów litewskiego Sejmu posiadających Kartę Polaka. Dwóm z trzech posłów AWPL grozi utrata mandatu litewskiego posła z powodu przyjęcia przez nich Karty, co budzi na Litwie kontrowersje.

Ojciec, gdy wypił, znęcał się nad córką

Ojciec nadużywał alkoholu. Gdy był pijany, bił córkę drewnianą listewką. Dziewczynka opowiedziała o tym opiekunce ze świetlicy osiedlowej. Ta o sprawie zawiadomiła policję. 47-letniego Arkadiusza L. zatrzymano. Miał prawie promil alkoholu we krwi. Został aresztowany na trzy miesiące.

Kaczyński: Pokażemy inne przypadki pijanych posłów w Sejmie

- PiS nie będzie podejmował żadnych decyzji w sprawie Elżbiety Kruk - powiedział Jarosław Kaczyński. Posłanka w czasie wczorajszych porannych głosowań w Sejmie chwiała się na nogach i niewyraźnie mówiła.

Zawieje i zamiecie na południu, dużo śniegu na północy

Zawieje i zamiecie śnieżne mogą nękać aż do jutrzejszego popołudnia całe południe Polski. na północy, nad Bałtykiem pada i ma padać śnieg. Jak zapowiada Instytut Meteorologii i Gospodarki Wodnej w ciągu doby może tam spaść nawet 20 centymetrów śniegu.