Twierdzenie sinusów

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Twierdzenie sinusów, wzór sinusów, twierdzenie Snelliusa

Spis treści

1 Treść twierdzenia
2 Dowód
3 Uproszczona wersja twierdzenia
- 3.1 Dowód 1
- 3.2 Dowód 2
4 Wnioski
5 Wzór sinusów w geometriach nieeuklidesowych
6 Twierdzenie sinusów dla sfery
7 Twierdzenie sinusów dla czworościanu
8 Zobacz też

[edytuj] Treść twierdzenia

W dowolnym trójkącie iloraz długości dowolnego boku i sinusa kąta naprzeciw tego boku jest stały i równy długości średnicy okręgu opisanego na trójkącie.

Zależność tę można zapisać następująco:

${a \over \sin\alpha} = {b \over \sin\beta} = {c \over \sin\gamma} = 2R$ .

[edytuj] Dowód

Wystarczy udowodnić jedną z równości, np. równość ${c \over \sin\gamma} = 2R$ , gdyż dowody pozostałych są analogiczne. Podanej równości równoważna jest następująca:

${c \over 2R} = \sin\gamma$

Na trójkącie $Δ A B C$ opisujemy okrąg i rozważamy trzy przypadki.

[edytuj] Przypadek 1. $\gamma = 90^\circ$

sinγ = 1

oraz

c = 2 R

, więc równość jest spełniona.

[edytuj] Przypadek 2. $\gamma < 90^\circ$

Kreślimy średnicę $A D$ i rozważamy pomocniczy trójkąt $Δ A B D$ . Kąt $\angle{ABD}$ jest prosty, więc oznaczając kąt $\angle{ADB}$ przez $δ$ otrzymujemy

$\frac{AB}{AD}=\sin{\delta}$

Ponieważ $A B = c$ , $A D = 2 R$ oraz $δ = γ$ (są to kąty wpisane w okrąg oparte na tym samym łuku), prawdziwa jest dowodzona równość.

[edytuj] Przypadek 3. $\gamma > 90^\circ$

Postępując tak jak w przypadku 2. otrzymujemy równość

${AB \over AD} = \sin\delta$

Na mocy twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg mamy $\gamma + \delta = 180^\circ$ . Zatem $\sin\gamma = \sin(180^\circ - \delta) = \sin\delta$ . Także w tym przypadku dowodzona równość okazuje się prawdziwa.

[edytuj] Uproszczona wersja twierdzenia

W dowolnym trójkącie iloraz długości dowolnego boku i sinusa kąta naprzeciw tego boku jest stały.

${a \over \sin\alpha} = {b \over \sin\beta} = {c \over \sin\gamma}$ .

[edytuj] Dowód 1

Zgodnie ze znanym wzorem na pole trójkąta:

$P = \frac{1}{2}ab\cdot sin\gamma =\frac{1}{2}bc\cdot sin\alpha =\frac{1}{2}ac\cdot sin\beta$

Dzieląc każde z wyrażeń przez $a\cdot b\cdot c$ i mnożąc przez 2 dostaniemy

$\frac{2P}{abc} = \frac{sin\gamma}{c} =\frac{sin\alpha}{a} =\frac{sin\beta}{b}$

Biorąc odwrotności każdego z wyrażeń dostaniemy tezę.

[edytuj] Dowód 2

Opuśćmy wysokość z wierzchołka wspólnego dla boków a,c. Wówczas

$sin \alpha =\frac{h}{c} \quad$ $,\quad sin \gamma = \frac{h}{a}$

Rugując z obu równań zmienną $h$ dostaniemy:

$c\cdot sin \alpha = a\cdot sin \gamma$

czyli, dzieląc obie strony przez $sin \alpha \cdot sin \gamma$ , dostaniemy

$\frac{c}{sin\gamma} = \frac{a}{sin\alpha}$

Zmieniając wierzchołki, z których opuszczamy wysokość dostaniemy pozostałe dwie równości.

[edytuj] Wnioski

Używając twierdzenia sinusów można udowodnić:

[edytuj] Wzór sinusów w geometriach nieeuklidesowych

Omawiane wyżej twierdzenie sinusów jest twierdzeniem geometrii euklidesowej czyli tzw. geometrii płaskiej i ma swoje odpowiedniki w geometriach nieeuklidesowych

W geometrii eliptycznej mamy wzór:

$\frac {\sin \alpha} {\sin a} = \frac {\sin \beta} {\sin b} = \frac {\sin \gamma} {\sin c}$

Tutaj a,b,c są długościami odcinków sferycznych, α, β, γ są kątami między odpowiednimi bokami. Dowód pierwszego wzoru znajduje się w następnej sekcji (przeprowadzony jest w jednym z możliwych modeli tej geometrii).

Analogicznie w geometrii hiperbolicznej, przyjąwszy tzw. metrykę naturalną dostaniemy:

$\frac {\sin \alpha} {\sinh a} = \frac {\sin \beta} {\sinh b} = \frac {\sin \gamma} {\sinh c}$

Tutaj a,b,c są długościami odcinków, α, β, γ są kątami między odpowiednimi bokami. Jak widać, jeśli argumentem jest długość odcinka, to zamiast sin używamy sinh.

Spostrzeżenie, że $\sin(ix) = i\cdot sinh(x)$ umożliwia bardziej spójne spojrzenie na temat. Otóż, jeśli K oznacza krzywiznę Gaussa powierzchni oraz $k=\sqrt{K}$ , to otrzymamy następujący wzór:

$\frac{\sin\alpha }{\sin (ka)}=\frac{\sin\beta }{\sin (kb)}=\frac{\sin\gamma }{\sin (kc)}$

Dla K>0 mamy trygonometrię na sferze o promieniu $\tfrac{1}{k}$ .
Dla K<0 mamy trygonometrię na pseudosferze o promieniu równym $\tfrac{1}{|k|}$ . Ponieważ $\tfrac{1}{k}$ jest tutaj urojony więc można też

ten przypadek traktować jak sferę o promieniu urojonym $\tfrac{1}{\sqrt{-|K|}}=\tfrac{1}{i\cdot\sqrt{|K|}}$ . Niekiedy sugestywnie ujmuje się to następująco: trygonometria hiperboliczna jest trygonometrią sferyczną na sferze o promieniu urojonym.

[edytuj] Twierdzenie sinusów dla sfery

rys.1

Jeśli a,b,c oznaczają długości odcinków sferycznych, α β, γ są kątami umieszczonymi naprzeciw boków odpowiednio a,b,c to zachodzi wzór

$\frac {\sin \alpha} {\sin a} = \frac {\sin \beta} {\sin b} = \frac {\sin \gamma} {\sin c}$

Dowód

Nazwijmy wektorem centralnym taki, który ma początek w środku sfery jednostkowej.

Długość odcinka sferycznego jest kątem między centralnymi wektorami, których końce są punktami ograniczającymi odcinek sferyczny.

Kąt między dwiema prostymi sferycznymi czyli kołami wielkimi jest kątem między płaszczyznami zawierającymi te koła wielkie, a ten z kolei jest kątem między wektorami prostopadłymi do obu tych płaszczyzn.

Jeśli mamy dwa końcowe punkty odcinka sferycznego będące końcami centralnych wektorów x,y to Iloczyn skalarny xy tych wektorów jest równy cosinusowi kąta między wektorami x, y czyli cosinusowi długości tego odcinka. Czyli

$xy = \cos c\;$

$xz = \cos b\;$

$yz = \cos a\;$

Jeśli mamy dwa punkty na sferze będące końcami centralnych wektorów x, y to korzystając z pojęcia iloczynu wektorowego możemy wyznaczyć wektor prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na x, y jako $x \times y$ . Zgodnie z definicją długość takiego iloczynu wektorowego jest równa sinusowi kąta między wektorami x, y czyli sinusowi długości odcinka

$|x \times y| = \sin c$

$|x \times z| = \sin b$

$|y \times z| = \sin a$

Rozważmy wyrażenie:

$(z \times x) \times (x \times y)$

Z jednej strony powyższy iloczyn wektorowy ma długość równą iloczynowi długości obu czynników oraz sinusa kąta między obu czynnikami czyli kąta między płaszczyzną rozpiętą na wektorach x,z oraz płaszczyzną rozpiętą na wektorach x,y. Ten ostatni kąt jest oczywiście równy α. Czyli:

Z drugiej strony na mocy znanej własności $p\times(q\times r) = q(pr) - r(pq)$ dostajemy:

$(z \times x)\times (x \times y) = x( (z \times x)y) - y((z\times x)x) = x( (z \times x)y)$

$(z\times x)x = 0$

Stąd

$| (z \times x)\times (x \times y)| = (z \times x)y$

rys. 2

Ponieważ (rys.2) dla iloczynu mieszanego $(z \times x)y$ zachodzi

$(z \times x)y = \sin b \cdot \sin h_b$

gdzie $h b$ jest długością wysokości trójkąta opuszczonej na bok b więc dostajemy zależność

$\sin b \cdot \sin c \cdot sin \alpha = \sin b \cdot \sin h_b$

a po uproszczeniu

$\sin c \cdot sin \alpha = \sin h_b$

Prowadząc analogiczne rozważania dla wyrażenia

$(y \times z) \times (z \times x)$

dostaniemy zależność

$\sin a \cdot sin \gamma = \sin h_b$

Rugując z obu zależności trygonometrycznych $sin h b$ dostaniemy

$\frac {\sin \alpha} {\sin a} = \frac {\sin \gamma} {\sin c}$

Analogicznie dowodzimy zależności

$\frac {\sin \alpha} {\sin a} = \frac {\sin \beta} {\sin b}$

[edytuj] Twierdzenie sinusów dla czworościanu

litery łacińskie (czarne) oznaczają długości krawędzi, litery greckie (czerwone) oznaczają miary kątów krawiędziowych

Jeśli a,b,c,a',b',c' są długościami krawędzi czworościanu przy czym primowane leżą naprzeciw odpowiednich nieprimowanych, oraz jeśli α,β,γ,α',β',γ' są kątami krawiędziowymi przy analogicznych krawędziach to

$\frac{\sin\alpha\cdot\sin\alpha'}{a\cdot a'}=\frac{\sin\beta\cdot\sin\beta'}{b\cdot b'}=\frac{\sin\gamma\cdot\sin\gamma'}{c\cdot c'}$

Dowód

Niech $\widehat{ab}, \widehat{ab'}, \widehat{b'c},\quad$ ... oznaczają kąty złożone z dowolnych nie leżących naprzeciw siebie krawędzi.

Na podstawie twierdzenia sinusów dla trójkąta sferycznego przy wierzchołku, w którym zbiegają się boki a,b,c':

$\frac {\sin\alpha}{\sin \widehat{bc'}} = \frac {\sin\beta}{\sin \widehat{ac'}}$

podobnie dla wierzchołka, w którym zbiegają się boki a',b',c':

$\frac {\sin\alpha'}{\sin \widehat{b'c'}} = \frac {\sin\beta'}{\sin \widehat{a'c'}}$

Mnożąc stronami dwie powyższe równości dostaniemy:

$\frac {\sin\alpha\cdot\sin \alpha'}{\sin \widehat{bc'}\cdot\sin \widehat{b'c'}} = \frac {\sin\beta\cdot\sin\beta'}{\sin \widehat{ac'}\cdot\sin \widehat{a'c'}}\quad (1)$

Na podstawie twierdzenia sinusów dla trójkąta, którego bokami są a',b,c':

$\frac {\sin \widehat{bc'}}{a'} = \frac {\sin \widehat{a'c'}}{b}$

podobnie dla trójkąta, którego bokami są a,b',c':

$\frac {\sin \widehat{b'c'}}{a} = \frac {\sin \widehat{ac'}}{b'}$

Mnożąc stronami dwie powyższe równości dostaniemy:

$\frac {\sin \widehat{bc'}\cdot\sin \widehat{b'c'}}{aa'} = \frac {\sin \widehat{ac'}\cdot\sin \widehat{a'c'}}{bb'}\quad (2)$

I na koniec, mnożąc stronami równości (1), (2) dostaniemy

$\frac{\sin\alpha\cdot\sin\alpha'}{a\cdot a'}=\frac{\sin\beta\cdot\sin\beta'}{b\cdot b'}$

Zmieniając parę przeciwnych krawędzi czworościanu na inną parę dostaniemy pozostałe dwie równości tezy.

[edytuj] Zobacz też

Kategorie: Trójkąty • Trygonometria • Twierdzenia matematyczne

Wyjazdowe obrady klubu PO: wraca sprawa Staroń

Podczas wyjazdowego posiedzenia klubu PO w miejscowości Ossa k. Rawy Mazowieckiej Lidia Staroń czyniła wyrzuty kolegom, że nie wsparli jej po publikacji "Rzeczpospolitej". Gazeta napisała, że Staroń zarobiła kilkaset tysięcy zł, bo ustawa, nad którą pracowała, pozwoliła jej uwłaszczyć lokal usługowy. Donald Tusk - relacjonuje zastrzegający anonimowość uczestnik obrad - poparł Staroń, natomiast Zbigniew Chlebowski nie zabrał głosu.

Pierwsza ofiara mrozu. Mężczyzna znaleziony na Podkarpaciu

45-letni mężczyzna jest najprawdopodobniej pierwszą tegoroczną ofiarą mrozów na Podkarpaciu. Policjanci wyjaśniają dokładne przyczyny śmierci mieszkańca Trzebuski. Mężczyznę znaleziono niespełna sto metrów od jego domu. Wiele wskazuje na to, że zmarł w wyniku wychłodzenia organizmu.

Pacelt do dymisji, dostanie nowe zadania

Ostrowiecki poseł Platformy Obywatelskiej Zbigniew Pacelt zostanie odwołany ze stanowiska wiceministra sportu. Teraz będzie odpowiadał za przygotowania reprezentacji Polski do igrzysk w Londynie.

Osiedlowy zespół ukradł sprzęt Acid Drinkers

Policjanci odzyskali sprzęt muzyczny należący do zespołu Acid Drinkers. Złodziejami okazali się 17-letni Jakub K. i 18-letni Paweł K., członkowie osiedlowego zespołu z Ełku. Za kradzież odpowiedzą przed sądem. Grozi im nawet pięć lat więzienia.

Pijany policjant spowodował kolizję

26-letni pijany policjant spowodował w sobotę w Elblągu kolizję. Funkcjonariusz, który miał w wydychanym powietrzu 2,5 promila alkoholu, straci pracę. Czeka go także sprawa karna - poinformowała Justyna Grzeczka z elbląskiej policji.

Drugie podejście PO do ustawy o mediach

PO wraca do rozmów z lewicą o zmianach w mediach. W przyszłym tygodniu politycy Platformy maja wyłożyć na stół nowy projekt ustawy medialnej - dowiedział się "Dziennik".

PiS zaniepokojone sprawą posłów Sejmu Litwy z Kartą Polaka

PiS jest zaniepokojone sprawą posłów litewskiego Sejmu posiadających Kartę Polaka. Dwóm z trzech posłów AWPL grozi utrata mandatu litewskiego posła z powodu przyjęcia przez nich Karty, co budzi na Litwie kontrowersje.

Ojciec, gdy wypił, znęcał się nad córką

Ojciec nadużywał alkoholu. Gdy był pijany, bił córkę drewnianą listewką. Dziewczynka opowiedziała o tym opiekunce ze świetlicy osiedlowej. Ta o sprawie zawiadomiła policję. 47-letniego Arkadiusza L. zatrzymano. Miał prawie promil alkoholu we krwi. Został aresztowany na trzy miesiące.

Kaczyński: Pokażemy inne przypadki pijanych posłów w Sejmie

- PiS nie będzie podejmował żadnych decyzji w sprawie Elżbiety Kruk - powiedział Jarosław Kaczyński. Posłanka w czasie wczorajszych porannych głosowań w Sejmie chwiała się na nogach i niewyraźnie mówiła.

Zawieje i zamiecie na południu, dużo śniegu na północy

Zawieje i zamiecie śnieżne mogą nękać aż do jutrzejszego popołudnia całe południe Polski. na północy, nad Bałtykiem pada i ma padać śnieg. Jak zapowiada Instytut Meteorologii i Gospodarki Wodnej w ciągu doby może tam spaść nawet 20 centymetrów śniegu.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Twierdzenie sinusów

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Treść twierdzenia

[edytuj] Dowód

[edytuj] Przypadek 1. $\gamma = 90^\circ$

[edytuj] Przypadek 2. $\gamma < 90^\circ$

[edytuj] Przypadek 3. $\gamma > 90^\circ$

[edytuj] Uproszczona wersja twierdzenia

[edytuj] Dowód 1

[edytuj] Dowód 2

[edytuj] Wnioski

[edytuj] Wzór sinusów w geometriach nieeuklidesowych

[edytuj] Twierdzenie sinusów dla sfery

[edytuj] Twierdzenie sinusów dla czworościanu

[edytuj] Zobacz też

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach