Własność Baire'a

Z Wikipedii

W topologii i teorii mnogości, własność Baire'a jest własnością podzbiorów przestrzeni mówiącą, że w pewnym sensie rozważany zbiór jest regularny.

Spis treści 1 Definicja 2 Przykłady 3 Własności 4 Własność Baire'a a mierzalność w sensie Lebesgue'a 5 Bibliografia 6 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Niech (X,τ) będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy, że zbiór ma własność Baire'a jeśli można go przedstawić jako różnicę symetryczną dwóch zbiorów: otwartego i pierwszej kategorii. Tak więc ma własność Baire'a wtedy i tylko wtedy gdy istnieją zbiory U,P takie, że , P jest pierwszej kategorii oraz .

Nazwa tej własności została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka René-Louisa Baire'a.

[edytuj] Przykłady

• Każdy zbiór borelowski ma własność Baire'a.
• Każdy zbiór pierwszej kategorii ma własność Baire'a.
• W przestrzeniach polskich, każdy zbiór analityczny ma własność Baire'a.
• Zarówno zbiory Vitalego jak i zbiory Bernsteina nie mają własności Baire'a. Do konstrukcji tych zbiorów niezbędny jest aksjomat wyboru.

[edytuj] Własności

• W dowolnej przestrzeni topologicznej, zbiory o własności Baire'a tworzą σ-ciało podzbiorów tej przestrzeni. Jest to najmniejsze σ-ciało zawierające zarówno zbiory otwarte jak i zbiory pierwszej karegorii.
• Jeśli podzbiór Z przestrzeni polskiej X ma własność Baire'a, to odpowiednia gra Banacha-Mazura jest zdeterminowana.
• Polscy matematycy Jan Mycielski i Hugo Steinhaus wykazali, że aksjomat determinacji implikuje że wszystkie podzbiory prostej mają własność Baire'a^[1]

[edytuj] Własność Baire'a a mierzalność w sensie Lebesgue'a

Własność Baire jest najczęściej rozważana dla podziorów przestrzeni polskich czy wręcz podzbiorów prostej rzeczywistej. W tym kontekście jest ona często porównywana do mierzalności w sense Lebesgue'a. Matematycy pracujący w teorii mnogości, topologii czy też teorii miary są często zinteresowani odkrywaniem podobieństw jak i przeciwieństw między tymi własnościami.^[2][3]

• Twierdzenie Kuratowskiego-Ulama mówi, że^[4]

jeśli X,Y są przestrzeniami polskimi i jest zbiorem o własności Baire'a,

to A jest zbiorem pierwszej kategorii wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór

nie jest pierwszej kategorii w

jest pierwszej kategorii w X.

Powyższe twierdzenie jest uważane za topologiczny odpowiednik twierdzenia Fubiniego dla miary.

• Niech X będzie przestrzenią polską i . Wówczas można znaleźć zbiór mający własność Baire'a i taki, że

jeśli ma własność Baire'a, to C jest pierwszej kategorii.

Ten wynik jest często podawany jako topologiczny odpowiednik miary zewnętrznej.

• W 1970, Robert M. Solovay udowodnił, że zakładając istnienie liczby nieosiągalnej, istnieje model teorii mnogości w którym wszystkie rzutowe podzbiory prostej są mierzalne w sensie Lebesgue'a i mają własność Baire'a ^[5].
• W 1984, Saharon Shelah wykazał, że^[6]

• model w który wszystkie zbiory rzutowe mają własność Baire'a może być otrzymany bez użycia liczb nieosiągalnych, ale
• mierzalność zbiorów rzutowych implikuje, że ω₁ jest liczbą nieosiagalną w uniwersum zbiorów konstruowalnych (Gödla).

Ten wynik Shelaha był jednym z pierwszych istotnych przykładów asymetrii pomiędzy własnością Baire'a a mierzalnością w sensie Lebesgue'a.

• Randall Dougherty and Matthew Foreman^[7] udowodnili, że jest możliwy paradoksalny rozkład kuli na kawałki które mają własność Baire'a. (Części rozkładu paradoksalnego muszą być niemierzalne.)

[edytuj] Bibliografia

1. ↑ Mycielski, Jan; Steinhaus, H. A mathematical axiom contradicting the axiom of choice. Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 10 (1962) 1-3
2. ↑ Oxtoby, John C. Measure and category. A survey of the analogies between topological and measure spaces. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 2. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1980. x+106 pp. ISBN 0-387-90508-1
3. ↑ Bartoszyński, Tomek; Judah, Haim. Set theory. On the structure of the real line. A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1995. xii+546 pp. ISBN 1-56881-044-X
4. ↑ Kuratowski, Kazimierz; Ulam, Stanisław. Quelques propriétés topologiques du produit combinatoire, "Fundamenta Mathematicae" 19 (1932) 247-251
5. ↑ Solovay, Robert M. A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable. Ann. of Math. 92 (1970) 1-56
6. ↑ Shelah, Saharon. Can you take Solovay's inaccessible away? Israel J. Math. 48 (1984) 1-47
7. ↑ Dougherty, Randall; Foreman, Matthew. Banach-Tarski decompositions using sets with the property of Baire. J. Amer. Math. Soc. 7 (1994), no. 1, 75-124

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• przestrzeń topologiczna,
• ciało zbiorów.

Prokurator chce kary w zawieszeniu dla aktora Zbigniewa B.

Kary roku więzienia w zawieszeniu na trzy lata oraz grzywny chce prokuratura dla znanego aktora Zbigniewa B., oskarżonego o nakłanianie do poświadczenia nieprawdy przy zdawaniu egzaminu na prawo jazdy.

Sikorski proponuje muzeum stosunków polsko-niemieckich (krótka)

Szef polskiej dyplomacji Radosław Sikorski zaproponował w piątek w Berlinie stworzenie muzeum stosunków polsko-niemieckich. Według niego Polska i Niemcy powinny być prekursorami procesu tworzenia "wspólnej świadomości historycznej Europy".

Chopin będzie patronem wygonu

Brudny plac, zabudowany obrzydliwymi budami ma nosić imię Fryderyka Chopina. PO i PiS są zachwycone, protestują internauci i lewica. W obronie pl. Defilad można nawet podpisać petycję.

Bony na prawnika i zmierzch radców prawnych

O bonach na pomoc prawną oraz planowanym połączeniu zawodów adwokata i radcy prawnego mówił podczas piątkowej konferencji prawniczej na Uniwersytecie Wrocławskim minister sprawiedliwości Zbigniew Ćwiąkalski.

Członkowie Prezydium Sejmu potępili "atak polityczny" na Niesiołowskiego

Członkowie Prezydium Sejmu potępili "atak polityczny" szefa PiS Jarosława Kaczyńskiego na wicemarszałka Stefana Niesiołowskiego. Sprzeciwił się marszałek Krzysztof Putra z PiS.

Tusk spotka się z Dalajlamą. A z Sarkozym?

Premier Donald Tusk spotka się jutro z Dalajlamą - dowiedziało się Radio TOK FM. Do rozmowy przywódców ma dojść tuż po południu w gdańskiej Filharmonii Bałtyckiej. Informację potwierdza Centrum Informacyjne Rządu. Nie wiadomo jeszcze, czy dojdzie do zapowiadanego spotkania Dalajlamy z prezydentem Francji.

Polscy pracownicy hotelu na Cyprze są pewni winy Karskiego i Zbonikowskiego

Polscy pracownicy z hotelu Le Meridien na Cyprze nie mają wątpliwości - to parlamentarzyści Karski i Zbonikowski są winni zepsucia dwóch pojazdów golfowych. Według nich właściciel jest zbyt bogatym człowiekiem, by szukać zarobku poprzez odszkodowanie.

Lech Kaczyński w Azji - Słońce Peru II?

Po siedmiu dniach azjatyckiej podróży Lecha Kaczyńskiego wiemy, że zepsuł się jego samolot, a podczas lądowania w Seulu wpadł w turbulencje. Pamiętamy, że założenie kimona zajęło prezydentowej pół godziny. Nie wiemy natomiast, co Lech Kaczyński uzyskał dla Polski. Sprawdziliśmy dziś, co prezydent załatwił w Azji. A raczej - czego nie załatwił.

Dalajlama: wiele zawdzięczam Polsce i Polakom

- Mało kto to wie, ale gdy w latach 50-tych znalazłem się na uchodźstwie poznałem dwoje wspaniałych Polaków. Byli dużo starsi ode mnie. Ta kobieta Polka była wtedy dla mnie jak przybrana matka, to dzięki niej zostałem wegetarianinem - opowiadał dziś w Gdańsku Dalajlama. Mówił też o wdzięczności za "Solidarność", Okrągły Stół i "polską determinację i siłę woli".

Nowy Targ: wybuch gazu, dwie osoby nie żyją

Dwie osoby zginęły, a trzy są ciężko ranne. To wynik zawalenia się domu jednorodzinnego przy ulicy Waksmundzkiej w Nowym Targu. Przyczyny wybuchu gazu nie są na razie znane.