Wahadło

Z Wikipedii

(Przekierowano z Wahadło matematyczne)

Skocz do: nawigacji, szukaj

Ten artykuł dotyczy pojęcia fizycznego. Zobacz też: Wahadło (narzędzie tortur).

Wahadło matematyczne, rozkład siły grawitacji na składowe.

Animacja ruchu wahadła ukazująca wektor prędkości i wypadkowego przyspieszenia.

Wahadło - ciało zawieszone lub zamocowane ponad swoim środkiem ciężkości wykonujące w pionowej płaszczyźnie drgania pod wpływem siły grawitacji. W teorii mechaniki rozróżnia się dwa podstawowe rodzaje wahadeł:

matematyczne
fizyczne

Spis treści

1 Wahadło matematyczne
- 1.1 Wahania swobodne
- 1.2 Ogólny przypadek drgań tłumionych i wymuszonych wahadła matematycznego
2 Wahadło fizyczne
3 Wahadło Foucaulta
4 Inne
5 Źródła

[edytuj] Wahadło matematyczne

Punkt materialny zawieszony na nierozciągliwej i nieważkiej nici. Jest to idealizacja wahadła fizycznego.

Ważną cechą wahadła fizycznego i matematycznego jest stałość okresu drgań dla niewielkich wychyleń wahadła.

[edytuj] Wahania swobodne

W wahadle matematycznym poruszające się ciało jest masą punktową, zawieszoną na nieważkiej nitce o długości l. Na ciało to działa stała siła grawitacji. Gdy wahadło odchylone jest z położenia równowagi, składowa siły grawitacji wzdłuż nici jest równoważona przez nić, a składowa prostopadła do nici działająca w kierunku punktu równowagi nadaje ciału przyspieszenie. Ruch ciała ograniczony nicią jest ruchem po okręgu. Z definicji przyspieszenia kątowego oraz z II zasady dynamiki dla ruchu punktu materialnego po okręgu, dla kątów wyrażonych w mierze łukowej kąta, wynikają zależności:

$\varepsilon =\frac{d^{2}\theta }{dt^{2}}$

$-mg l \sin \theta =ml^{2}\cdot \frac{d^{2}\theta }{dt^{2}}$

Dla małych wychyleń, θ jest bliskie zera, wówczas funkcję sinus można przybliżyć jej argumentem (zobacz: Funkcje trygonometryczne), co prowadzi do równania:

$\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}+\frac{g}{l}\theta =0$

Powyższe równanie jest równaniem ruchu drgającego harmonicznego, którego ogólna postać jest dana wzorem:

$\frac{d^{2}\theta }{dt^{2}}+\omega ^{2}\theta =0$

gdzie $\omega =\frac{2\pi }{T}$ jest częstością kołową drgań a T - okresem. Wynika stąd, że okres drgań wynosi:

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

Takie drgania wahadła matematycznego (bez działania sił zewnętrznych) nazywamy drganiami własnymi wahadła.

[edytuj] Ogólny przypadek drgań tłumionych i wymuszonych wahadła matematycznego

Ogólne równanie ruchu wahadła matematycznego:

$ml\frac{d^2\theta}{dt^2}+\gamma l\frac{d\theta}{dt}+mg\sin\theta=A \cos\omega_Dt$

Gdzie:

l - długość nici,
g - przyspieszenie ziemskie,
m - masa ciała,
$θ$ - kąt wektora wodzącego ciała z pionem
A - amplituda siły wymuszającej
$ω D$ - częstość siły wymuszającej
$γ$ - współczynnik oporu ośrodka

Równanie to odpowiada równaniu drgań tłumionych o sile nieproporcjonalnej do wychylenia, czyli drgań anharmonicznych. Równania tego nie da się rozwiązać analitycznie, nawet gdy A = 0.

Dla małych wychyleń funkcję sinus można przybliżyć przez zastosowanie prawidłowości:

$\sin \theta \approx \theta$

Stosując powyższe przybliżenie, pomijając opory oraz siłę wymuszającą, równanie otrzymuje postać:

$\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac g l \theta=0$

Równanie, to odpowiada równaniu oscylatora harmonicznego o częstości:

$\omega=\frac{2\pi}{T}=\sqrt{\frac{g}{l}}$

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Zależność okresu drgań wahadła

T

od kąta wychylenia

θ

Z rozwiązania przybliżonego ruchu wahadła wynika, że dla małych kątów wychylenia okres drgań wahadła jest niezależny od masy wahadła, amplitudy drgań wahadła, a zależy tylko od długości i przyspieszenia ziemskiego. Warunki przybliżenia są w miarę dobrze spełnione dla wychyleń mniejszych niż 8 stopni.

Gdy nie występuje wymuszanie drgań ani opór ośrodka, okres drgań może być wyrażony wzorem:

$T = 4\sqrt{l \over g}E\left({\sin\theta_0\over 2}, {\pi \over 2} \right)$

gdzie $E(k,\varphi)$ jest całką eliptyczną Legendre'a pierwszego rodzaju:

$E(k,\varphi) = \int\limits^{\varphi}_0 {1\over\sqrt{1-k^2\sin^2{\theta}}}d\theta$ .

Okres drgań można również przedstawić jako sumę nieskończonego szeregu:

$\begin{alignat}{2} T & = 2\pi \sqrt{\ell\over g} \left( 1+ \left( \frac{1}{2} \right)^2 \sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) + \left( \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right)^2 \sin^4\left(\frac{\theta}{2}\right) + \cdots \right) \\ & = 2\pi \sqrt{\ell\over g} \cdot \sum_{n=0}^\infty \left[ \left ( \frac{(2 n)!}{( 2^n \cdot n! )^2} \right )^2 \cdot \sin^{2 n}\left(\frac{\theta_0}{2}\right) \right] \end{alignat}$

W tej postaci widać różnicę pomiędzy przybliżonym i dokładnym rozwiązaniem równania ruchu wahadła.

[edytuj] Wahadło fizyczne

Bryła sztywna mogąca wykonywać obroty dookoła poziomej osi przechodzącej ponad środkiem ciężkości tej bryły.

Wzór na okres drgań wahadła fizycznego dla małych wychyleń:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}$

Przez analogię do wahadła matematycznego wzór ten zapisuje się jako:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l_0}{g}}$ ,

wprowadzając wielkość długość zredukowana wahadła $l 0$

$l_0 = \frac{I}{md}$

gdzie:

d - odległość od punktu zawieszenia do środka ciężkości,
g - przyspieszenie ziemskie,
I - moment bezwładności ciała względem osi obrotu,
m - masa ciała.

[edytuj] Wahadło Foucaulta

Zobacz więcej w osobnym artykule: Wahadło Foucaulta.

Wahadło Foucaulta w Poznaniu

Jest to duża masa zawieszona na długiej linie. Dzięki działaniu siły Coriolisa spowodowanej obrotem Ziemi, płaszczyzna drgań wahadła ulega powolnemu obrotowi. Ściśle mówiąc płaszczyzna wahań jest stała w układzie inercjalnym, zatem musi obracać się w układzie wirującym. Obserwowany okres obrotu płaszczyzny ruchu wahadła można zapisać w postaci przybliżonej jako:

$T\approx \frac{24 \operatorname {h}}{sin\varphi}$

gdzie $φ$ , to szerokość geograficzna, na której znajduje się wahadło.

[edytuj] Inne

Zobacz też: zegar wahadłowy

[edytuj] Źródła

Fizyka Mieczysław Jeżewski, , PWN, Warszawa 1966.
”Fizyka dla studentów nauk przyrodniczych i technicznych. T. 1” R. Resnick, D. Halliday (Państ. Wydaw. Naukowe, Warszawa, 1980 r., ISBN 830100987X) tłum. Teresa Butler, Lech Kaniowski i Wojciech Ratyński.
“Fizyka. T. 1” Robert Resnick, David Halliday (Wydaw. Naukowe PWN, Warszawa, 1993 r.) tłum. Teresa Butler-Kaniowska i Wojciech Ratyński.
''Wstęp do fizyki A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski, PWN, Warszawa 1984.

Kategorie: Wahadła • Dynamika • Grawitacja

Prokurator chce kary w zawieszeniu dla aktora Zbigniewa B.

Kary roku więzienia w zawieszeniu na trzy lata oraz grzywny chce prokuratura dla znanego aktora Zbigniewa B., oskarżonego o nakłanianie do poświadczenia nieprawdy przy zdawaniu egzaminu na prawo jazdy.

Sikorski proponuje muzeum stosunków polsko-niemieckich (krótka)

Szef polskiej dyplomacji Radosław Sikorski zaproponował w piątek w Berlinie stworzenie muzeum stosunków polsko-niemieckich. Według niego Polska i Niemcy powinny być prekursorami procesu tworzenia "wspólnej świadomości historycznej Europy".

Chopin będzie patronem wygonu

Brudny plac, zabudowany obrzydliwymi budami ma nosić imię Fryderyka Chopina. PO i PiS są zachwycone, protestują internauci i lewica. W obronie pl. Defilad można nawet podpisać petycję.

Bony na prawnika i zmierzch radców prawnych

O bonach na pomoc prawną oraz planowanym połączeniu zawodów adwokata i radcy prawnego mówił podczas piątkowej konferencji prawniczej na Uniwersytecie Wrocławskim minister sprawiedliwości Zbigniew Ćwiąkalski.

Członkowie Prezydium Sejmu potępili "atak polityczny" na Niesiołowskiego

Członkowie Prezydium Sejmu potępili "atak polityczny" szefa PiS Jarosława Kaczyńskiego na wicemarszałka Stefana Niesiołowskiego. Sprzeciwił się marszałek Krzysztof Putra z PiS.

Tusk spotka się z Dalajlamą. A z Sarkozym?

Premier Donald Tusk spotka się jutro z Dalajlamą - dowiedziało się Radio TOK FM. Do rozmowy przywódców ma dojść tuż po południu w gdańskiej Filharmonii Bałtyckiej. Informację potwierdza Centrum Informacyjne Rządu. Nie wiadomo jeszcze, czy dojdzie do zapowiadanego spotkania Dalajlamy z prezydentem Francji.

Polscy pracownicy hotelu na Cyprze są pewni winy Karskiego i Zbonikowskiego

Polscy pracownicy z hotelu Le Meridien na Cyprze nie mają wątpliwości - to parlamentarzyści Karski i Zbonikowski są winni zepsucia dwóch pojazdów golfowych. Według nich właściciel jest zbyt bogatym człowiekiem, by szukać zarobku poprzez odszkodowanie.

Lech Kaczyński w Azji - Słońce Peru II?

Po siedmiu dniach azjatyckiej podróży Lecha Kaczyńskiego wiemy, że zepsuł się jego samolot, a podczas lądowania w Seulu wpadł w turbulencje. Pamiętamy, że założenie kimona zajęło prezydentowej pół godziny. Nie wiemy natomiast, co Lech Kaczyński uzyskał dla Polski. Sprawdziliśmy dziś, co prezydent załatwił w Azji. A raczej - czego nie załatwił.

Dalajlama: wiele zawdzięczam Polsce i Polakom

- Mało kto to wie, ale gdy w latach 50-tych znalazłem się na uchodźstwie poznałem dwoje wspaniałych Polaków. Byli dużo starsi ode mnie. Ta kobieta Polka była wtedy dla mnie jak przybrana matka, to dzięki niej zostałem wegetarianinem - opowiadał dziś w Gdańsku Dalajlama. Mówił też o wdzięczności za "Solidarność", Okrągły Stół i "polską determinację i siłę woli".

Nowy Targ: wybuch gazu, dwie osoby nie żyją

Dwie osoby zginęły, a trzy są ciężko ranne. To wynik zawalenia się domu jednorodzinnego przy ulicy Waksmundzkiej w Nowym Targu. Przyczyny wybuchu gazu nie są na razie znane.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Wahadło

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Wahadło matematyczne

[edytuj] Wahania swobodne

[edytuj] Ogólny przypadek drgań tłumionych i wymuszonych wahadła matematycznego

[edytuj] Wahadło fizyczne

[edytuj] Wahadło Foucaulta

[edytuj] Inne

[edytuj] Źródła

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach