Pozytywne informacje z Polski i ze Świata.

Tutaj znajdziesz je wszystkie!

Wartość bezwzględna

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Wartość bezwzględna (moduł[1]) – wartość liczby rzeczywistej bez uwzględnienia jej znaku. Odległość liczby od zera. Przykładowo 3 jest wartością bezwzględną zarówno liczby rzeczywistej 3 jak i − 3. W programowaniu funkcję obliczającą tę wartość zwykle oznacza się abs(x).

Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej można uogólnić na wiele innych zbiorów. Uogólnienia takie zwane są normami. I tak norma jest także definiowana dla liczb zespolonych, kwaternionów, wielu pierścieni uporządkowanych, ciał, czy przestrzeni liniowych.

Wartość bezwzględna jest także powiązana z pojęciem odległości (metryki).

Spis treści

[edytuj] Liczby rzeczywiste

Wykres funkcji y = | x |

Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej a, oznaczana | a | [2] jest definiowana wg wzoru

|a| = \begin{cases} a & \mbox {dla } a \geqslant 0 \\ -a & \mbox{dla } a<0 \end{cases}

W powyższej definicji widać, że wartość bezwzględna jest zawsze dodatnia lub równa zeru, ale nigdy nie jest ujemna.

Z geometrycznego punktu widzenia wartość bezwzględna liczby rzeczywistej jest odległością tej liczby od zera na osi liczbowej. Ogólniej, wartość bezwzględna różnicy dwóch liczb jest odległością między nimi. Pojęcie abstrakcyjnej funkcji odległości w matematyce może być uważane za uogólnienie wartości bezwzględnej różnicy (zobacz sekcja Odległość).

[edytuj] Własności

|a| = \sqrt{a^2} równanie to używane jest czasami jako równoważna definicja wartości bezwzględnej
|a| \geqslant 0 nieujemność
|a| = 0 \iff a = 0
| ab | = | a | | b | multiplikatywność
|a+b| \leqslant |a| + |b| podaddytywność
| − a | = | a | symetria
|a - b| = 0 \iff a = b prawo identyczności
|a - b| \leqslant |a - c| + |c - b| nierówność trójkąta; równoważna podaddytywności
|\tfrac{a}{b}| = \tfrac{|a|}{|b|} \mbox{ (dla } b \ne 0) zachowanie dzielenia; równoważne multiplikatywności
|a-b| \geqslant ||a| - |b|| równoważne podaddytywności
|a| \leqslant b \iff -b \leqslant a \leqslant b
|a| \geqslant b \iff a \leqslant -b \mbox{ lub } b \leqslant a

Dwa ostatnie wzory są często używane do rozwiązywania nierówności, np.:

|x-3| \leqslant 9 \iff -9 \leqslant x-3 \leqslant 9 \iff -6 \leqslant x \leqslant 12.

[edytuj] Liczby zespolone

Uogólnieniem pojęcia wartości bezwzględnej na liczby zespolone jest moduł określany wzorem:

|z|=\sqrt{\operatorname{re}^2\;z+\operatorname{im}^2\;z}\quad z \in \mathbb C

interpretowany geometrycznie tak jak poprzednio – jako odległość danej liczby od zera.

Uogólnieniem pojęcia wartości bezwzględnej liczby dla wektorów jest norma wektora.

Przypisy

  1. ↑ wprowadzenie terminu modułu przypisuje się Jean-Robertowi Argandowi w 1806 roku, zobacz: Nahin, O'Connor and Robertson oraz functions.Wolfram.com
  2. ↑ functions.Wolfram.com przypisuje wprowadzenie oznaczenia | x | Karlowi Weierstrassowi w 1841 roku

[edytuj] Zobacz też

Wikibooks
Prokurator chce kary w zawieszeniu dla aktora Zbigniewa B.

Kary roku więzienia w zawieszeniu na trzy lata oraz grzywny chce prokuratura dla znanego aktora Zbigniewa B., oskarżonego o nakłanianie do poświadczenia nieprawdy przy zdawaniu egzaminu na prawo jazdy.

Sikorski proponuje muzeum stosunków polsko-niemieckich

Szef polskiej dyplomacji Radosław Sikorski zaproponował w piątek w Berlinie stworzenie muzeum stosunków polsko-niemieckich. Według niego Polska i Niemcy powinny być prekursorami procesu tworzenia "wspólnej świadomości historycznej Europy".

Chopin będzie patronem wygonu

Brudny plac, zabudowany obrzydliwymi budami ma nosić imię Fryderyka Chopina. PO i PiS są zachwycone, protestują internauci i lewica. W obronie pl. Defilad można nawet podpisać petycję.

Bony na prawnika i zmierzch radców prawnych

O bonach na pomoc prawną oraz planowanym połączeniu zawodów adwokata i radcy prawnego mówił podczas piątkowej konferencji prawniczej na Uniwersytecie Wrocławskim minister sprawiedliwości Zbigniew Ćwiąkalski.

Członkowie Prezydium Sejmu potępili "atak polityczny" na Niesiołowskiego

Członkowie Prezydium Sejmu potępili "atak polityczny" szefa PiS Jarosława Kaczyńskiego na wicemarszałka Stefana Niesiołowskiego. Sprzeciwił się marszałek Krzysztof Putra z PiS.

Tusk spotka się z Dalajlamą. A z Sarkozym?

Premier Donald Tusk spotka się jutro z Dalajlamą - dowiedziało się Radio TOK FM. Do rozmowy przywódców ma dojść tuż po południu w gdańskiej Filharmonii Bałtyckiej. Informację potwierdza Centrum Informacyjne Rządu. Nie wiadomo jeszcze, czy dojdzie do zapowiadanego spotkania Dalajlamy z prezydentem Francji.

Polscy pracownicy hotelu na Cyprze są pewni winy Karskiego i Zbonikowskiego

Polscy pracownicy z hotelu Le Meridien na Cyprze nie mają wątpliwości - to parlamentarzyści Karski i Zbonikowski są winni zepsucia dwóch pojazdów golfowych. Według nich właściciel jest zbyt bogatym człowiekiem, by szukać zarobku poprzez odszkodowanie.

Lech Kaczyński w Azji - Słońce Peru II?

Po siedmiu dniach azjatyckiej podróży Lecha Kaczyńskiego wiemy, że zepsuł się jego samolot, a podczas lądowania w Seulu wpadł w turbulencje. Pamiętamy, że założenie kimona zajęło prezydentowej pół godziny. Nie wiemy natomiast, co Lech Kaczyński uzyskał dla Polski. Sprawdziliśmy dziś, co prezydent załatwił w Azji. A raczej - czego nie załatwił.

Dalajlama: wiele zawdzięczam Polsce i Polakom

- Mało kto to wie, ale gdy w latach 50-tych znalazłem się na uchodźstwie poznałem dwoje wspaniałych Polaków. Byli dużo starsi ode mnie. Ta kobieta Polka była wtedy dla mnie jak przybrana matka, to dzięki niej zostałem wegetarianinem - opowiadał dziś w Gdańsku Dalajlama. Mówił też o wdzięczności za "Solidarność", Okrągły Stół i "polską determinację i siłę woli".

Nowy Targ: wybuch gazu, dwie osoby nie żyją

Dwie osoby zginęły, a trzy są ciężko ranne. To wynik zawalenia się domu jednorodzinnego przy ulicy Waksmundzkiej w Nowym Targu. Przyczyny wybuchu gazu nie są na razie znane.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.
Prokurator chce kary w zawieszeniu dla aktora Zbigniewa B.

Kary roku więzienia w zawieszeniu na trzy lata oraz grzywny chce prokuratura dla znanego aktora Zbigniewa B., oskarżonego o nakłanianie do poświadczenia nieprawdy przy zdawaniu egzaminu na prawo jazdy.

Sikorski proponuje muzeum stosunków polsko-niemieckich

Szef polskiej dyplomacji Radosław Sikorski zaproponował w piątek w Berlinie stworzenie muzeum stosunków polsko-niemieckich. Według niego Polska i Niemcy powinny być prekursorami procesu tworzenia "wspólnej świadomości historycznej Europy".

Chopin będzie patronem wygonu

Brudny plac, zabudowany obrzydliwymi budami ma nosić imię Fryderyka Chopina. PO i PiS są zachwycone, protestują internauci i lewica. W obronie pl. Defilad można nawet podpisać petycję.

Bony na prawnika i zmierzch radców prawnych

O bonach na pomoc prawną oraz planowanym połączeniu zawodów adwokata i radcy prawnego mówił podczas piątkowej konferencji prawniczej na Uniwersytecie Wrocławskim minister sprawiedliwości Zbigniew Ćwiąkalski.

Członkowie Prezydium Sejmu potępili "atak polityczny" na Niesiołowskiego

Członkowie Prezydium Sejmu potępili "atak polityczny" szefa PiS Jarosława Kaczyńskiego na wicemarszałka Stefana Niesiołowskiego. Sprzeciwił się marszałek Krzysztof Putra z PiS.

Tusk spotka się z Dalajlamą. A z Sarkozym?

Premier Donald Tusk spotka się jutro z Dalajlamą - dowiedziało się Radio TOK FM. Do rozmowy przywódców ma dojść tuż po południu w gdańskiej Filharmonii Bałtyckiej. Informację potwierdza Centrum Informacyjne Rządu. Nie wiadomo jeszcze, czy dojdzie do zapowiadanego spotkania Dalajlamy z prezydentem Francji.

Polscy pracownicy hotelu na Cyprze są pewni winy Karskiego i Zbonikowskiego

Polscy pracownicy z hotelu Le Meridien na Cyprze nie mają wątpliwości - to parlamentarzyści Karski i Zbonikowski są winni zepsucia dwóch pojazdów golfowych. Według nich właściciel jest zbyt bogatym człowiekiem, by szukać zarobku poprzez odszkodowanie.

Lech Kaczyński w Azji - Słońce Peru II?

Po siedmiu dniach azjatyckiej podróży Lecha Kaczyńskiego wiemy, że zepsuł się jego samolot, a podczas lądowania w Seulu wpadł w turbulencje. Pamiętamy, że założenie kimona zajęło prezydentowej pół godziny. Nie wiemy natomiast, co Lech Kaczyński uzyskał dla Polski. Sprawdziliśmy dziś, co prezydent załatwił w Azji. A raczej - czego nie załatwił.

Dalajlama: wiele zawdzięczam Polsce i Polakom

- Mało kto to wie, ale gdy w latach 50-tych znalazłem się na uchodźstwie poznałem dwoje wspaniałych Polaków. Byli dużo starsi ode mnie. Ta kobieta Polka była wtedy dla mnie jak przybrana matka, to dzięki niej zostałem wegetarianinem - opowiadał dziś w Gdańsku Dalajlama. Mówił też o wdzięczności za "Solidarność", Okrągły Stół i "polską determinację i siłę woli".

Nowy Targ: wybuch gazu, dwie osoby nie żyją

Dwie osoby zginęły, a trzy są ciężko ranne. To wynik zawalenia się domu jednorodzinnego przy ulicy Waksmundzkiej w Nowym Targu. Przyczyny wybuchu gazu nie są na razie znane.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Jeśli skorzystałeś z informacji przedstawionych tutaj?

Nie bądź samolubem. Daj link do serwisu http://www.theplaceofhousesinc.com wszystkim z Twojego GG.