Wartość oczekiwana

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Spis treści

1 Definicja
- 1.1 Zmienna dyskretna
- 1.2 Zmienna ciągła
2 Własności
3 Wartość oczekiwana w mechanice kwantowej
4 Zobacz też

Wartość oczekiwana (przeciętna, średnia), nadzieja matematyczna – w rachunku prawdopodobieństwa wartość opisująca spodziewany (średnio) wynik doświadczenia losowego. Wartość oczekiwana to inaczej pierwszy moment zwykły. Estymatorem wartości oczekiwanej rozkładu cechy w populacji jest średnia arytmetyczna.

[edytuj] Definicja

[edytuj] Zmienna dyskretna

Niech $X$ będzie zmienną losową typu dyskretnego. Wartością oczekiwaną nazywa się sumę iloczynów wartości tej zmiennej losowej oraz prawdopodobieństw, z jakimi są one przyjmowane.

Formalnie, jeżeli dyskretna zmienna losowa $X$ przyjmuje wartości $x_1, x_2, \dots, x_n$ z prawdopodobieństwami wynoszącymi odpowiednio $p_1, p_2, \dots, p_n$ , to wartość oczekiwana $\mathbb EX$ zmiennej losowej $X$ wyraża się wzorem

$\mathbb EX = \sum_{i=1}^n x_i p_i$ .

Jeżeli zmienna $X$ przyjmuje przeliczalnie wiele wartości, to wzór na jej wartość oczekiwaną ma $\infty$ w miejsce $n$ (istnieje ona tylko wtedy, gdy szereg jest zbieżny).

[edytuj] Zmienna ciągła

Jeżeli $X$ jest zmienną losową typu ciągłego zdefiniowaną na przestrzeni probabilistycznej $(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)$ , to wartość oczekiwaną zmiennej losowej $X$ definiuje się jako całkę

$\mathbb EX = \int\limits_\Omega X d\mathbb P$

o ile powyższa całka istnieje, czyli jest skończona:

$\mathbb E|X| = \int\limits_\Omega |X| d\mathbb P < +\infty$ .

[edytuj] Własności

Dowodzi się, że jeśli $X$ jest zmienną losową o funkcji gęstości prawdopodobieństwa $f (x)$ , to jej wartość oczekiwana wynosi

$\mathbb EX = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}~x f(x) dx$ .

Jeżeli $Y = \varphi(X)$ jest funkcją mierzalną, to

$\mathbb EY = \mathbb E\left(\varphi(X)\right) = \int\limits_\mathbb R~\varphi(x) f(x) dx$ .

Jeśli istnieją $\mathbb EX$ oraz $\mathbb EY$ , to:

$\mathbb Ec = c$ , gdzie $c$ jest funkcją stałą (wynika z jednorodności sumy/szeregu/całki),
$\forall_{a, b}\; \mathbb E(aX + b) = a\mathbb EX + b$ (wynika z liniowości sumy/szeregu/całki),
jeżeli $X, Y$ są niezależne, to $\mathbb E(XY) = \mathbb EX \mathbb EY$ ,
jeżeli $X \geqslant 0$ prawie wszędzie, to $\mathbb EX \geqslant 0$ ,
$\mathbb E|X| \geqslant |\mathbb EX|$ .

[edytuj] Wartość oczekiwana w mechanice kwantowej

Pojęcie wartości oczekiwanej jest szeroko stosowane w mechanice kwantowej. Wartość oczekiwana obserwabli, której odpowiada operator $\hat{A}$ dla stanu kwantowego układu opisywanego funkcją falową $ψ$ wynosi $\langle\hat{A}\rangle = \int \psi^* \hat{A} \psi d \tau$ gdzie całkowanie przebiega po wszystkich możliwych wartościach zmiennych układu.

W notacji Diraca wzór ten można zapisać jako: $\langle\hat{A}\rangle = \langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle$ .

Nieoznaczoność wartości oczekiwanej $\hat{A}$ wynosi $(\Delta A)^2 = \langle\hat{A}^2\rangle - \langle\hat{A}\rangle^2$ .

[edytuj] Zobacz też

Prokurator chce kary w zawieszeniu dla aktora Zbigniewa B.

Kary roku więzienia w zawieszeniu na trzy lata oraz grzywny chce prokuratura dla znanego aktora Zbigniewa B., oskarżonego o nakłanianie do poświadczenia nieprawdy przy zdawaniu egzaminu na prawo jazdy.

Sikorski proponuje muzeum stosunków polsko-niemieckich (krótka)

Szef polskiej dyplomacji Radosław Sikorski zaproponował w piątek w Berlinie stworzenie muzeum stosunków polsko-niemieckich. Według niego Polska i Niemcy powinny być prekursorami procesu tworzenia "wspólnej świadomości historycznej Europy".

Chopin będzie patronem wygonu

Brudny plac, zabudowany obrzydliwymi budami ma nosić imię Fryderyka Chopina. PO i PiS są zachwycone, protestują internauci i lewica. W obronie pl. Defilad można nawet podpisać petycję.

Bony na prawnika i zmierzch radców prawnych

O bonach na pomoc prawną oraz planowanym połączeniu zawodów adwokata i radcy prawnego mówił podczas piątkowej konferencji prawniczej na Uniwersytecie Wrocławskim minister sprawiedliwości Zbigniew Ćwiąkalski.

Członkowie Prezydium Sejmu potępili "atak polityczny" na Niesiołowskiego

Członkowie Prezydium Sejmu potępili "atak polityczny" szefa PiS Jarosława Kaczyńskiego na wicemarszałka Stefana Niesiołowskiego. Sprzeciwił się marszałek Krzysztof Putra z PiS.

Tusk spotka się z Dalajlamą. A z Sarkozym?

Premier Donald Tusk spotka się jutro z Dalajlamą - dowiedziało się Radio TOK FM. Do rozmowy przywódców ma dojść tuż po południu w gdańskiej Filharmonii Bałtyckiej. Informację potwierdza Centrum Informacyjne Rządu. Nie wiadomo jeszcze, czy dojdzie do zapowiadanego spotkania Dalajlamy z prezydentem Francji.

Polscy pracownicy hotelu na Cyprze są pewni winy Karskiego i Zbonikowskiego

Polscy pracownicy z hotelu Le Meridien na Cyprze nie mają wątpliwości - to parlamentarzyści Karski i Zbonikowski są winni zepsucia dwóch pojazdów golfowych. Według nich właściciel jest zbyt bogatym człowiekiem, by szukać zarobku poprzez odszkodowanie.

Lech Kaczyński w Azji - Słońce Peru II?

Po siedmiu dniach azjatyckiej podróży Lecha Kaczyńskiego wiemy, że zepsuł się jego samolot, a podczas lądowania w Seulu wpadł w turbulencje. Pamiętamy, że założenie kimona zajęło prezydentowej pół godziny. Nie wiemy natomiast, co Lech Kaczyński uzyskał dla Polski. Sprawdziliśmy dziś, co prezydent załatwił w Azji. A raczej - czego nie załatwił.

Dalajlama: wiele zawdzięczam Polsce i Polakom

- Mało kto to wie, ale gdy w latach 50-tych znalazłem się na uchodźstwie poznałem dwoje wspaniałych Polaków. Byli dużo starsi ode mnie. Ta kobieta Polka była wtedy dla mnie jak przybrana matka, to dzięki niej zostałem wegetarianinem - opowiadał dziś w Gdańsku Dalajlama. Mówił też o wdzięczności za "Solidarność", Okrągły Stół i "polską determinację i siłę woli".

Nowy Targ: wybuch gazu, dwie osoby nie żyją

Dwie osoby zginęły, a trzy są ciężko ranne. To wynik zawalenia się domu jednorodzinnego przy ulicy Waksmundzkiej w Nowym Targu. Przyczyny wybuchu gazu nie są na razie znane.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Wartość oczekiwana

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicja

[edytuj] Zmienna dyskretna

[edytuj] Zmienna ciągła

[edytuj] Własności

[edytuj] Wartość oczekiwana w mechanice kwantowej

[edytuj] Zobacz też

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach