Współrzędne jednorodne

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Współrzędne jednorodne to sposób reprezentacji punktów $n$ -wymiarowych za pomocą $n + 1$ współrzędnych. Współrzędne jednorodne zostały wprowadzone do geometrii w 1827 przez Augusta Möbiusa w pracy Der barycentrische Calcul. W 1946, E. Maxwell użył ich do rozwiązywania problemów związanych z rzutowaniem. Ze względu na kilka zalet znalazły zastosowanie w grafice komputerowej.

Punkt w przestrzeni dwuwymiarowej (na płaszczyźnie) opisuje para liczb $(x, y)$ , we współrzędnych jednorodnych trójka $(x, y, W)$ ; podobnie punkt trójwymiarowy we współrzędnych jednorodnych reprezentuje czwórka $(x, y, z, W)$ , itd.

Jeśli współrzędna $W \ne 0$ , wówczas można podzielić przez nią pozostałe współrzędne, np. $\left(\frac x W, \frac y W\right)$ . Liczby $\frac x W$ , $\frac y W$ (itd.) nazywane są współrzędnymi kartezjańskimi punktu jednorodnego.

Jeśli natomiast $W = 0$ , wówczas takie punkty nazywane są punktami w nieskończoności lub niewłaściwymi.

Dwa punkty jednorodne reprezentują ten sam punkt wtedy, gdy jeden jest wielokrotnością drugiego; istnieje nieskończenie wiele reprezentacji jednego punktu. W przestrzeni jednorodnej punkt reprezentuje prostą przechodzącą przez środek układu współrzędnych, natomiast punkt we współrzędnych kartezjańskich jest rzutem środkowym na płaszczyznę $W = 1$ .

[edytuj] Zastosowania w grafice komputerowej

[edytuj] Przekształcenia macierzowe

W roku 1965 L. Roberts zauważył, że współrzędne jednorodne znakomicie nadają się do macierzowego opisu przekształceń w przestrzeniach n-wymiarowych.

Podstawowymi przekształceniami stosowanymi w grafice są: skalowanie, obrót, pochylenie i translacja. Zapis macierzowy wszystkich tych przekształceń przedstawia się następująco (przykład dla dwóch wymiarów):

$\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix} = A \cdot X + T = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}t_x\\t_y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_{11}x + a_{12}y + t_x\\a_{21}x + a_{22}y + t_y\end{bmatrix}$

gdzie macierz $A$ zawiera skumulowane informacje o obrocie, skalowaniu i pochyleniu, natomiast wektor $T$ przesunięcie. Stosując współrzędne jednorodne można za pomocą macierzy 3x3 przedstawić wszystkie przekształcenia:

$\begin{bmatrix}x'\\y'\\W'\end{bmatrix} = A \cdot X = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & t_x \\ a_{21} & a_{22} & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}x\\y\\W\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11}x + a_{12}y + t_xW\\ a_{21}x + a_{22}y + t_yW\\ W \end{bmatrix}$

Za pomocą macierzy przekształceń we współrzędnych jednorodnych można także zwięźle opisać rzut perspektywiczny:

$\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\\W'\end{bmatrix} = M \cdot X = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac 1 d & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}x\\y\\z\\W\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ \frac z d \end{bmatrix}$

Przy przejściu na współrzędne kartezjańskie otrzymuje się: $\left[\frac x {z/d}, \frac y {z/d}, d\right]^T$ .

[edytuj] Obcinanie

W grafice trójwymiarowej istotnym elementem wizualizacji jest obcinanie sceny trójwymiarowej do tzw. ostrosłupa widzenia. Jest to ostrosłup (dokładnie: ostrosłup ścięty), zdefiniowany przez wirtualną kamerę, w obrębie którego znajdują się obiekty widoczne w danym rzucie. Jednak obcinanie względem ostrosłupa widzenia jest dość skomplikowane obliczeniowo, dlatego można przekształcić ostrosłup widzenia w sześcian. Obcinanie względem sześcianu jest bardzo efektywne, jednak aby po takim przekształceniu zapewnić poprawność wyników, obcinanie musi zostać wykonane we współrzędnych jednorodnych. Jest to powszechnie stosowane podejście w rozwiązaniach sprzętowych.

Także obcinanie wymiernych krzywych B-sklejanych we współrzędnych trójwymiarowych może nie dać prawidłowych wyników, natomiast obcinanie we współrzędnych jednorodnych gwarantuje poprawność wyniku.

Marcinkiewicz na Platformie do Strasburga

Były premier Kazimierz Marcinkiewicz na pierwszym miejscu warszawskiej listy PO do Parlamentu Europejskiego. Taki wariant rozważają liderzy partii - dowiedziała się „Gazeta”

Dalajlama w Polsce

Dziś początek wizyty XIV Dalajlamy, duchowego i politycznego przywódcy Tybetańczyków, laureata Pokojowej Nagrody Nobla i jednego z największych żyjących autorytetów moralnych.

Człowiek, mnich, dalajlama

Dla Zachodu XIV Dalajlama Tenzjin Gjaco jest laureatem Pokojowej Nagrody Nobla, współczesnym Gandhim, moralnym autorytetem konsekwentnie głoszącym ideę miłości, szacunku i odpowiedzialności za wszystkie żywe istoty i za całą Ziemię.

"Żeby móc tak mówić, trzeba być nieskazitelnym bohaterem"

- Żeby używać takich słów, trzeba mieć autorytet, który mają postacie pomnikowe. Trzeba być nieskazitelnym bohaterem - tak Radosław Sikorski skomentował wypowiedź prezesa PiS. Jarosław Kaczyński stwierdził dziś, że "13-letnie dziewczynki wytrzymywały tortury gestapo, a Niesiołowski sypał".

Lech Wałęsa o UE: Ja, rewolucjonista trochę tu porozrabiam

W Brukseli odbyło się dziś pierwsze spotkanie grupy refleksji w sprawie przyszłości Unii Europejskiej. Uczestniczący w nim Lech Wałęsa zapowiedział, że jako "stary rewolucjonista" będzie zadawał prowokacyjne pytania i "jeśli go nie wyrzucą, to trochę porozrabia".

Dalajlama: Uczę się polskiej determinacji i siły woli

Określenie "Polska" towarzyszy mi od dzieciństwa; kiedy tylko tu jestem uczę się polskiej determinacji i siły woli - mówił w wywiadzie dla radiowej "Jedynki" Dalajlama XIV. Jutro duchowy przywódca Tybetańczyków przyjeżdża do Polski.

Bondaryk: Otrzymałem od PTC ok. 450 tys. zł

Szef Agencji Bezpieczeństwa Wewnętrznego Krzysztof Bondaryk wydał w czwartek oświadczenie. Poinformował w nim, że wysokość uzyskanych przez niego świadczeń od spółki PTC z tytułu zakazu konkurencji, nagrody rocznej i ekwiwalentu za urlop wyniosła ok. 450 tys. zł.

Klich: Jutro decyzja w sprawie unikających poboru

- Jutro będzie wydana odpowiednia decyzja, która rozwiąże ten problem - odpowiedział minister obrony Bogdan Klich na pytanie co, w związku z zakończeniem poboru do wojska stanie się z osobami unikającymi służby wojskowej.

Radni PO chcą zmienić nazwę pl. Defilad

Skansen PRL-u w centrum Warszawy ma szansę zmienić nazwę na bardziej romantyczną. Radni Platformy Obywatelskiej chcą przemianować pl. Defilad na pl. Fryderyka Chopina. Klub PiS jest tym pomysłem zachwycony.

Zuchwały napad na bank

Dwóch mężczyzn w kominiarkach w środku dnia sterroryzowało kasjerkę banku i uciekło z pieniędzmi.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Współrzędne jednorodne

Z Wikipedii

[edytuj] Zastosowania w grafice komputerowej

[edytuj] Przekształcenia macierzowe

[edytuj] Obcinanie

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach