Wykres (matematyka)

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Wykres – sposób przedstawiania informacji, równań, formuł, relacji, funkcji i innych obiektów w matematyce i pokrewnych naukach jako podzbiorów pewnych iloczynów kartezjańskich.

Warto zauważyć, że z formalnego punktu widzenia wiele obiektów w matematyce jest identycznych (tożsamych) z ich wykresami (zob. izomorfizm). Często jednak obiekty te mają inne intuicyjne czy też historyczne definicje, wówczas rozważanie ich wykresów ma ważne znaczenie dydaktyczne (jest też krokiem wstępnym do formalizacji tychże pojęć). Sztandarowymi przykładami takich obiektów są wspomniane wcześniej relacje i funkcje.

[edytuj] Wykres równania

Przypuśćmy, że $R(x_1,\ldots,x_n)=0$ jest równaniem w liczbach rzeczywistych, którego zmienne są zawarte wśród $x_1,\ldots,x_2$ . Zbiór rozwiązań tego równania, to zbiór wszystkich entek uporządkowanych liczb rzeczywistych $(a_1,\ldots,a_n)\in {\mathbb R}^n$ które spełniają to równanie (czyli takich, że $R(a_1,\ldots,a_n)=0$ ). Zbiór wszystkich rozwiązań równania $R(x_1,\ldots,x_n)=0$ jest więc podzbiorem produktu kartezjańskiego ${\mathbb R}^n$ . Czasami zbiór ten jest nazywany wykresem równania.

Zatem wykresem równania $R(x_1,\ldots,x_n)=0$ jest zbiór $\{(a_1,\ldots,a_n)\in {\mathbb R}^n:R(a_1,\ldots,a_n)=0\}$ . W przypadku gdy mamy do czynienia tylko z dwiema lub trzema zmiennymi, to wykresy równań mogą reprezentować znajome obiekty geometryczne:

Konchoidy de Sluze dla różnych wartości parametru a

Wykresem równania $6 x + 7 y - 13 = 0$ (czyli zbiorem $\{(x,y)\in {\mathbb R}^2:6x+7y-13=0\}$ ) jest prosta przechodząca m.in. przez punkty $(1,1)$ i $( - 6,7)$ ;
wykresem równania $(x - 2) 2 + (y - 3) 2 - 16 = 0$ (czyli zbiorem $\{(x,y)\in {\mathbb R}^2:(x-2)^2+(y-3)^2-16=0\}$ ) jest okrąg o środku w punkcie $(2,3)$ i promieniu 4;
dla niezerowej liczby a, wykresem równania $(x - 1)(x 2 + y 2) = a x 2$ jest konchoida de Sluze.

[edytuj] Wykres relacji

Przypuśćmy, że ρ jest relacją n-członową na zbiorze X. Wówczas wykresem relacji ρ nazywamy zbiór $\{(a_1,\ldots,a_n)\in X^n: a_1,\ldots,a_n$ są w relacji $ρ}$ .

Należy zauważyć, że formalna definicja relacji jest właśnie taka, że relacja i jej wykres są tym samym.

Niech $ρ$ będzie relacją dwuczłonową na zbiorze liczb rzeczywistych daną przez warunek: "x jest mniejsze lub równe y", $x\,\rho\,y \iff x\leq y$ . Wówczas wykresem relacji $ρ$ jest zbiór $\{(x,y)\in {\mathbb R}^2:x\leq y\}$ , czyli (w kartezjańskim układzie współrzędnych) domknięta półpłaszczyzna powyżej prostej $y = x$ ;
niech $ρ'$ będzie relacją dwuczłonową na zbiorze liczb rzeczywistych daną przez warunek $(x-2)^2+(y-3)^2\leq 16$ . Wówczas wykresem relacji $ρ'$ w kartezjańskim układzie współrzędnych jest domknięte koło o środku w punkcie $(2,3)$ i promieniu 4.

[edytuj] Wykres funkcji

Zobacz więcej w osobnym artykule: wykres funkcji.

[edytuj] Wykres formuły

Przedstawione powyżej przykłady wykresów mają wspólne uogólnienie w języku teorii modeli. Przypuśćmy że τ jest alfabetem pewnego języka pierwszego rzędu ${\mathcal L}(\tau)$ . Przypuśćmy też że M jest modelem dla ${\mathcal L}(\tau)$ oraz $\varphi(x_1,\ldots,x_n)$ jest formułą w języku ${\mathcal L}(\tau)$ której zmienne wolne są zawarte wśród $x_1,\ldots,x_n$ . Wykresem formuły $\varphi$ w modelu M nazywamy zbiór

$\{(a_1,\ldots,a_n)\in M^n:{\bold M}\models\varphi[a_1,\ldots,a_n]\}$

gdzie M jest oznacza uniwersum modelu M.

Oczywiście, powyższa procedura może być zastosowana do innych języków (niekoniecznie pierwszego rzędu).

[edytuj] Zobacz też

Kategoria: Wykresy

Tusk: Chcecie szybkich zmian, dajcie mi sto procent władzy

Weto jest konstytucyjnym uprawnieniem prezydenta i skłamałbym, jeślibym mówił, że nie spodziewałem się tego - tak premier Donald Tusk komentuje fakt niepodpisania przez Lecha Kaczyńskiego kolejnych ustaw. Jego zdaniem prezydent używa weta jako "broni politycznej". Chcecie szybkiej zmiany - dajcie mi sto procent władzy - oświadczył premier.

J. Kaczyński: Polacy zostaną ciężko ograbieni

- Polityka liberalizmu PO będzie nas drogo kosztowała. Polacy zostaną ciężko ograbieni, gdyż ceny wzrosną, a pensje nie - mówił prezes PiS podczas wizyty na Mazurach i Suwalszczyźnie. Jarosław Kaczyński przekonywał mieszkańców Ełku i Suwałk, że wprowadzenie euro będzie niekorzystne dla Polaków.

Prezydent zawetował kolejne ustawy

Prezydent Lech Kaczyński zawetował kolejne ustawy. Są to: nowelizacja ustawy o zwalczaniu nieuczciwej konkurencji, zmiana w przepisach dotyczących emerytur i rent z FUS oraz ustawa upoważniająca prezydenta do ratyfikacji Konwencji ds. kontaktów z dziećmi. Po raz drugi zawetował ustawę likwidującą tzw. poziomy awans sędziów. Politycy PO, PSL oraz Lewicy uważają, że kolejne weta prezydenta Lecha Kaczyńskiego są podyktowane pobudkami politycznymi.

IPN sprawdzi, czy Józef Światło naprawdę nie żyje

Pion śledczy katowickiego IPN chce zbadać losy podpułkownika Józefa Światły, który w 1953 roku uciekł z Polski na Zachód - poinformował serwis tvp.info. W chwili obecnej prokuratorzy nie mają nawet pewności czy były wicedyrektor Departamentu X Ministerstwa Bezpieczeństwa faktycznie nie żyje.

Paweł Machcewicz dyrektorem Muzeum II Wojny Światowej

Minister Kultury i Dziedzictwa Narodowego Bogdan Zdrojewski powołał Pawła Machcewicza na stanowisko dyrektora Muzeum II Wojny Światowej w Gdańsku - poinformował dział prasowy ministerstwa.

Kaczyński: Sikorski szefem NATO? To dobre dla Polski

Według prezesa PiS Jarosława Kaczyńskiego "byłoby dobrze dla Polski", gdyby Radosław Sikorski lub Aleksander Kwaśniewski objęli stanowisko sekretarza generalnego NATO - bo to wzmacnia pozycję Polski. Zaznaczył, że "bliżej" mu do Sikorskiego.

Samobójczyni skoczyła do Odry

86-letnia mieszkanka Opola popełniła dziś samobójstwo skacząc do Odry.

Boże Narodzenie w Opoce

Rekolekcje on-line, przegląd tradycji adwentowych i świątecznych oraz konkurs MMS na zdjęcie szopki to nowe atrakcje portalu Opoka.

IPN ujawnił protokół przesłuchania Graczyka

IPN opublikował na swych stronach w internecie protokół przesłuchania b. oficera SB Edwarda Graczyka, jako świadka w śledztwie IPN w sprawie fałszowania przez SB akt mających dowodzić, że Lech Wałęsa był agentem o pseudonimie "Bolek".

Zaproszenia na wykład Dalajlamy jak świeże bułeczki

Planowany na 11 grudnia wykład Dalajlamy w Hali Torwar w Warszawie cieszy się bardzo dużym zainteresowaniem. Wszystkie zaproszenia zostały rozdane w ciągu godziny.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Wykres (matematyka)

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Wykres równania

[edytuj] Wykres relacji

[edytuj] Wykres funkcji

[edytuj] Wykres formuły

[edytuj] Zobacz też

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia