Pozytywne informacje z Polski i ze Świata.

Tutaj znajdziesz je wszystkie!

Wymiar Hausdorffa

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Wymiar Hausdorffa – cecha numeryczna zbioru w przestrzeni metrycznej; nazwa tego wymiaru honoruje Feliksa Hausdorffa, który ten wymiar zdefiniował.

Spis treści

[edytuj] Definicja

Niech s  > 0. Niech \;(X, d) będzie przestrzenią metryczną. Dla dowolnego podzbioru E \subseteq X określamy miarę zewnętrzną

H^s_\delta(E) = \inf\left\{\sum_{i=1}^\infty \operatorname{diam}(A_i)^s\right\},

gdzie infimum bierzemy po rodzinach zbiorów \,\{A_i\}_i, które pokrywają E\, i zawierają zbiory o średnicy mniejszej lub równej \,\delta.

Gdy \delta\, maleje, to H^s_\delta(E) rośnie. Zatem poniższa granica (skończona lub nie) istnieje i jest nazywana miarą Hausdorffa (dla wykładnika s):

H^s(E) = \lim_{\delta \to 0}~H^s_\delta(E).

Łatwo sprawdzić, że:

  • H^s(E) = 0 \implies H^t(E) = 0     dla każdego \,t>s;
  • H^s(E) = \infty \implies H^t(E) = \infty     dla każdego \,t<s.

Wymiar Hausdorffa określa się wówczas jako

\operatorname{dim}_H(E) = \inf \{s\colon H^s(E) = 0\} = \sup \{s\colon H^s(E) = \infty\}.

[edytuj] Wymiar Hausdorffa a wymiar topologiczny

Wymiar Hausdorffa metrycznej przestrzeni ośrodkowej jest zawsze niemniejszy od jej wymiaru topologicznego. Edward Marczewski (1937)  [1]  udowodnił, że każda ośrodkowa przestrzeń metryczna dopuszcza metrykę indukującą jej topologię, i taką, że wymiar Hausdorffa przy tej metryce jest równy wymiarowi topologicznemu.

Podobne twierdzenie, ale tylko dla przestrzeni metrycznych, zwartych, dowiedli wspólnie Lew Pontriagin i Lew Sznirelman (1932)  [2], w terminach nie miary Hausdorffa, lecz logarytmu minimalnych liczności ε-pokryć, podzielonego przez log(ε).

Wynik Marczewskiego (oraz Eilenberga) przedstawiony jest w klasycznej monografii Witold Hurewicza i Henry Wallmana [3]; patrz też rosyjskie tłumaczenie [4], gdzie znajduje się dodatek ze wspomnianą pracą Pontriagina-Sznirelmana.

[edytuj] Praktyczna metoda liczenia

W większości zbiorów fraktalnych w przestrzeni metrycznej np. takich jak Kostka Mengera policzenie wymiaru Haussdorfa sprowadza sie do zbadania zbieżności szeregu geometrycznego z zsumowanych miar jego zmniejszanych elementów z potęgą wymiaru z każdej rekurencji tzn. kiedy suma ta staje się nieskończona. Suma ta jest szczególnym wyborem z rodziny zbiorów z definicji H^s_\delta(E). Wymiar Haussdorfa jest równy nawiększej wartości potęgi dla której powstały ciąg geometryczny oraz szereg stają się rozbieżne.

Przykład: dywan Sierpińskiego:

W każdej rekurencji usuwa się 8n kwadratów o boku 1 / 3n. Suma szeregu jest wtedy dana przez

\frac{}{}Z(\gamma)= \left(\frac{1}{3}\right)^{\gamma}+8 \left(\frac{1}{3^2}\right)^{\gamma}+ 8^2 \left(\frac{1}{3^3}\right)^{\gamma}+8^3 \left(\frac{1}{3^4}\right)^{\gamma}+...

co jest sumą wyrazów ciągu geometrycznego o ilorazie

q=\frac{8}{3^{\gamma}}

Ciąg ten i suma stają się rozbieżne gdy q = 1 tzn. wymiar Haussdorfa dywanu Sierpińskiego wynosi

\gamma=\frac{\log(8)}{\log(3)}\approx 1,8928

Dla kostki Mengera będzie to więc log(20) / log(3), dla piramidy Sierpińskiego log(4) / log(2), a dla zbioru Cantora log(2) / log(3).


Przypisy

  1. ↑ Szpilrajn, La dimension et la mesure, Fund. math., 28 (1937), 81-89
  2. ↑ Об одном метрическом свойстве размерности, Annals of Mathematics 33 (1932), 156-162
  3. ↑ Witold Hurewicz and Henry Wallman, Dimension Theory, 1941
  4. ↑ Witold Hurewicz i Henry Wallman, Теория Размерности, И*Л, 1948, Μοсква

[edytuj] Zobacz też

W wieku 111 lat zmarła prawdopodobnie najstarsza Polka

W Brzozowie na Podkarpaciu zmarła w wieku 111 lat i czterech miesięcy Ludwika Kosztyła. Była prawdopodobnie najstarszą Polką - poinformował PAP Damian Kierek z Urzędu Miasta w Brzozowie.

Okradli bank na 6 milionów. Przez internet

Prawie sześć milionów złotych padło łupem złodziei, którzy wykorzystali lukę w bankowości internetowej jednego z banków. W krótkim czasie wykonali ponad 140 przelewów na swoje konta, a bank się nawet nie zorientował.

Ryszard Niemczyk już ostatecznie skazany na 25 lat więzienia

Jeden z najgroźniejszych polskich gangsterów Ryszard Niemczyk, ps. Rzeźnik, jest już ostatecznie skazany na 25 lat więzienia, m.in. za udział w zabójstwie szefa gangu pruszkowskiego Andrzeja Kolikowskiego, ps. Pershing.

CBA zaprzecza by funkcjonariusze biura dostali nagrody za sprawę Sawickiej

Centralne Biuro Antykorupcyjne zaprzeczyło by jego funkcjonariusze biorący udział w operacji przeciwko posłance PO Beacie Sawickiej dostali premie sięgające nawet 30 tys. zł.

Pięciolatek w szpitalu po zażyciu amfetaminy

Policjanci z Zabrza zatrzymali rodziców pięcioletniego chłopca, w którego organizmie lekarze wykryli duże stężenie amfetaminy. Wszystko wskazuje na to, że dziecko wypiło napój z narkotykiem, który przygotował sobie jego ojciec

Ukradli bankomat i wieźli go na wózku przez miasto

Trzej zamaskowani mężczyźni wyrwali z mocowania bankomat, załadowali na wózek i wieźli przez miasto. Wpadli, bo jakiś mieszkaniec Głogowa podzielił się informacją o niezwykłym widoku z policją.

Prokuratura umorzyła śledztwo ws. nazwania prezydenta chamem

Warszawska prokuratura okręgowa umorzyła śledztwo dotyczące wypowiedzi posła PO Janusza Palikota, który oświadczył w lipcu w TVN24, że uważa prezydenta Lecha Kaczyńskiego "za chama". Wypowiedź Palikota nie może być uznana za zniewagę - uznała prokuratura.

Kwaśniewski: pytano mnie, czy chcę być szefem NATO

- Ministrowie Spraw Zagranicznych krajów NATO-wskich prowadzili ze mną rozmowy sondażowe, czy byłbym zainteresowany. Nie powiedziałem "nie". - powiedział w TOK FM Aleksander Kwaśniewski, pytany o doniesienia tygodnika "Der Spiegel", który napisał że Kwaśniewski, lub Sikorski mają bardzo duże szanse zostać kolejnym szefem Sojuszu. - To spekulacje prasowe, ale możemy czuć satysfakcję - komentuje premier Donald Tusk.

L. Kaczyński: Wizy dla Polaków to byłby cenny prezent od Busha

To byłby "bardzo cenny prezent", o ile prezydentowi USA dałoby się sprawę przeprowadzić przez Kongres - powiedział, przebywający z oficjalną wizytą w Mongolii, prezydent Lech Kaczyński, odnosząc się do informacji medialnych, jakoby kończący kadencję George W.Bush rozważał zniesienie wiz dla Polaków.

"Dziennik": Agenci CBA nagrodzeni za prowokację wobec Sawickiej

PRZEGLĄD PRASY: Premiami sięgającymi nawet 30 tys. zł zostali nagrodzeni funkcjonariusze CBA biorący udział w operacji przeciwko posłance PO Beacie Sawickiej - pisze "Dziennik".

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.
W wieku 111 lat zmarła prawdopodobnie najstarsza Polka

W Brzozowie na Podkarpaciu zmarła w wieku 111 lat i czterech miesięcy Ludwika Kosztyła. Była prawdopodobnie najstarszą Polką - poinformował PAP Damian Kierek z Urzędu Miasta w Brzozowie.

Okradli bank na 6 milionów. Przez internet

Prawie sześć milionów złotych padło łupem złodziei, którzy wykorzystali lukę w bankowości internetowej jednego z banków. W krótkim czasie wykonali ponad 140 przelewów na swoje konta, a bank się nawet nie zorientował.

Ryszard Niemczyk już ostatecznie skazany na 25 lat więzienia

Jeden z najgroźniejszych polskich gangsterów Ryszard Niemczyk, ps. Rzeźnik, jest już ostatecznie skazany na 25 lat więzienia, m.in. za udział w zabójstwie szefa gangu pruszkowskiego Andrzeja Kolikowskiego, ps. Pershing.

CBA zaprzecza by funkcjonariusze biura dostali nagrody za sprawę Sawickiej

Centralne Biuro Antykorupcyjne zaprzeczyło by jego funkcjonariusze biorący udział w operacji przeciwko posłance PO Beacie Sawickiej dostali premie sięgające nawet 30 tys. zł.

Pięciolatek w szpitalu po zażyciu amfetaminy

Policjanci z Zabrza zatrzymali rodziców pięcioletniego chłopca, w którego organizmie lekarze wykryli duże stężenie amfetaminy. Wszystko wskazuje na to, że dziecko wypiło napój z narkotykiem, który przygotował sobie jego ojciec

Ukradli bankomat i wieźli go na wózku przez miasto

Trzej zamaskowani mężczyźni wyrwali z mocowania bankomat, załadowali na wózek i wieźli przez miasto. Wpadli, bo jakiś mieszkaniec Głogowa podzielił się informacją o niezwykłym widoku z policją.

Prokuratura umorzyła śledztwo ws. nazwania prezydenta chamem

Warszawska prokuratura okręgowa umorzyła śledztwo dotyczące wypowiedzi posła PO Janusza Palikota, który oświadczył w lipcu w TVN24, że uważa prezydenta Lecha Kaczyńskiego "za chama". Wypowiedź Palikota nie może być uznana za zniewagę - uznała prokuratura.

Kwaśniewski: pytano mnie, czy chcę być szefem NATO

- Ministrowie Spraw Zagranicznych krajów NATO-wskich prowadzili ze mną rozmowy sondażowe, czy byłbym zainteresowany. Nie powiedziałem "nie". - powiedział w TOK FM Aleksander Kwaśniewski, pytany o doniesienia tygodnika "Der Spiegel", który napisał że Kwaśniewski, lub Sikorski mają bardzo duże szanse zostać kolejnym szefem Sojuszu. - To spekulacje prasowe, ale możemy czuć satysfakcję - komentuje premier Donald Tusk.

L. Kaczyński: Wizy dla Polaków to byłby cenny prezent od Busha

To byłby "bardzo cenny prezent", o ile prezydentowi USA dałoby się sprawę przeprowadzić przez Kongres - powiedział, przebywający z oficjalną wizytą w Mongolii, prezydent Lech Kaczyński, odnosząc się do informacji medialnych, jakoby kończący kadencję George W.Bush rozważał zniesienie wiz dla Polaków.

"Dziennik": Agenci CBA nagrodzeni za prowokację wobec Sawickiej

PRZEGLĄD PRASY: Premiami sięgającymi nawet 30 tys. zł zostali nagrodzeni funkcjonariusze CBA biorący udział w operacji przeciwko posłance PO Beacie Sawickiej - pisze "Dziennik".

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Jeśli skorzystałeś z informacji przedstawionych tutaj?

Nie bądź samolubem. Daj link do serwisu http://www.theplaceofhousesinc.com wszystkim z Twojego GG.