Wymiar pudełkowy

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Wymiar pudełkowy (objętościowy, pojemnościowy) - uogólnienie intuicyjnego pojęcia wymiaru, zdefiniowane przez Andrieja Kołmogorowa.

Pozwala on na obliczanie wymiaru dla zbiorów, dla których ustalenie wymiaru drogą nieformalną nie jest sprawą oczywistą (np. dla zbioru Cantora). Jest on oparty na koncepcji zliczania ilości tzw. ,,pudełek", którymi pokrywa się badany zbiór.

[edytuj] Potrzebne oznaczenia i definicja

Niech $A$ będzie podzbiorem $n$ - wymiarowej przestrzeni euklidesowej (np. dla $n = 2$ : płaszczyzny). Niech ponadto $A$ będzie zwarty i niepusty.

Oznaczmy przez $I( \varepsilon )$ iloczyn kartezjański $n$ przedziałów o długości $\varepsilon$ . Zbiór taki nazywamy kostką $n$ -wymiarową. I tak na przykład gdy $n = 1$ , $I( \varepsilon)$ jest kostką jednowymiarową, czyli przedziałem o długości $\varepsilon$ . Gdy $n = 2,$ $I( \varepsilon)$ jest kwadratem o boku długości $\varepsilon$ (pole tego kwadratu wynosi oczywiście $\varepsilon^2$ ), i tak dalej.

Niech $N( \varepsilon )$ oznacza najmniejszą możliwą liczbę kostek (zwanych także, skąd pochodzi nazwa wymiaru, ,,pudełkami") potrzebnych do pokrycia zbioru $A$ . Zatem $N( \varepsilon )$ jest najmniejszą liczbą naturalną taką, że

$A \subseteq \bigcup_{i=1}^{N( \varepsilon )}I( \varepsilon ),$

przy czym $N( \varepsilon )$ -krotne dodawanie nie oznacza że sumujemy ze sobą wielokrotnie ten sam zbiór, ale wiele takich samych zbiorów (nie ma tu mowy o ich przestrzennym ułożeniu). I tak na przykład przedział $[0,1]$ można pokryć minimalnie dwoma kostkami $I(\frac{1}{2}),$ czyli np. $\lbrack 0,1 \rbrack \subseteq \lbrack 0,\frac{1}{2} ) \cup \lbrack \frac{1}{2},1\rbrack$ . Można to zrobić także większą liczbą kostek o takim promieniu, natomiast nie można mniejszą. Stąd gdy $A = [0,1],$ to $N(\frac{1}{2})=2.$

Wymiarem pudełkowym $d$ zbioru $A$ nazywamy granicę

$d=-\lim\limits_{ \varepsilon \to 0} \frac{\log N( \varepsilon )}{\log (1/ \varepsilon )},$

gdzie symbol $N( \varepsilon )$ należy zrozumieć tak jak napisano wyżej.

Powyższa granica jest dobrze określona, co wynika ze zwartośći zbioru $A$ .

[edytuj] Przykład obliczeniowy

Wygodnym sposobem obliczania wymiaru dwuwymiarowego zbioru $A$ jest przedstawienie go na siatce, której oczka mają rozmiar $\varepsilon$ a następnie zliczanie, ile oczek siatki potrzeba do pokrycia zbioru. Niemniej w przykładzie niektórych fraktali wystarczy wziąć pod uwagę sposób, w jaki są one tworzone, sprowadza się to wtedy do wymiaru samopodobieństwa.

Przykładowo, zbiór Cantora powstaje w wyniku iteracji. Na każdym jej kroku zbiór dzieli się na dwa mniejsze, a każdy z tych nowo utworzonych zbiorów jest trzykrotnie mniejszy, niż zbioru z poprzedniego etapu procesu. Stąd, jeśli przyjmiemy $\varepsilon=(\frac{1}{3})^n$ (gdzie $n$ oznacza etap konstrukcji zbioru), to otrzymamy $N(\varepsilon)=2^n.$

Możemy więc napisać

$d = \lim \limits_{n\to\infty} \frac{\log 2^n}{\log 3^n}=\frac{\log 2}{\log 3}\approx 0,631.$

Widać stąd, że wymiar zbioru Cantora nie jest liczbą całkowitą.

Kategoria: Topologia

W wieku 111 lat zmarła prawdopodobnie najstarsza Polka

W Brzozowie na Podkarpaciu zmarła w wieku 111 lat i czterech miesięcy Ludwika Kosztyła. Była prawdopodobnie najstarszą Polką - poinformował PAP Damian Kierek z Urzędu Miasta w Brzozowie.

Okradli bank na 6 milionów. Przez internet

Prawie sześć milionów złotych padło łupem złodziei, którzy wykorzystali lukę w bankowości internetowej jednego z banków. W krótkim czasie wykonali ponad 140 przelewów na swoje konta, a bank się nawet nie zorientował.

Ryszard Niemczyk już ostatecznie skazany na 25 lat więzienia

Jeden z najgroźniejszych polskich gangsterów Ryszard Niemczyk, ps. Rzeźnik, jest już ostatecznie skazany na 25 lat więzienia, m.in. za udział w zabójstwie szefa gangu pruszkowskiego Andrzeja Kolikowskiego, ps. Pershing.

CBA zaprzecza by funkcjonariusze biura dostali nagrody za sprawę Sawickiej

Centralne Biuro Antykorupcyjne zaprzeczyło by jego funkcjonariusze biorący udział w operacji przeciwko posłance PO Beacie Sawickiej dostali premie sięgające nawet 30 tys. zł.

Pięciolatek w szpitalu po zażyciu amfetaminy

Policjanci z Zabrza zatrzymali rodziców pięcioletniego chłopca, w którego organizmie lekarze wykryli duże stężenie amfetaminy. Wszystko wskazuje na to, że dziecko wypiło napój z narkotykiem, który przygotował sobie jego ojciec

Ukradli bankomat i wieźli go na wózku przez miasto

Trzej zamaskowani mężczyźni wyrwali z mocowania bankomat, załadowali na wózek i wieźli przez miasto. Wpadli, bo jakiś mieszkaniec Głogowa podzielił się informacją o niezwykłym widoku z policją.

Prokuratura umorzyła śledztwo ws. nazwania prezydenta chamem

Warszawska prokuratura okręgowa umorzyła śledztwo dotyczące wypowiedzi posła PO Janusza Palikota, który oświadczył w lipcu w TVN24, że uważa prezydenta Lecha Kaczyńskiego "za chama". Wypowiedź Palikota nie może być uznana za zniewagę - uznała prokuratura.

Kwaśniewski: pytano mnie, czy chcę być szefem NATO

- Ministrowie Spraw Zagranicznych krajów NATO-wskich prowadzili ze mną rozmowy sondażowe, czy byłbym zainteresowany. Nie powiedziałem "nie". - powiedział w TOK FM Aleksander Kwaśniewski, pytany o doniesienia tygodnika "Der Spiegel", który napisał że Kwaśniewski, lub Sikorski mają bardzo duże szanse zostać kolejnym szefem Sojuszu. - To spekulacje prasowe, ale możemy czuć satysfakcję - komentuje premier Donald Tusk.

L. Kaczyński: Wizy dla Polaków to byłby cenny prezent od Busha

To byłby "bardzo cenny prezent", o ile prezydentowi USA dałoby się sprawę przeprowadzić przez Kongres - powiedział, przebywający z oficjalną wizytą w Mongolii, prezydent Lech Kaczyński, odnosząc się do informacji medialnych, jakoby kończący kadencję George W.Bush rozważał zniesienie wiz dla Polaków.

"Dziennik": Agenci CBA nagrodzeni za prowokację wobec Sawickiej

PRZEGLĄD PRASY: Premiami sięgającymi nawet 30 tys. zł zostali nagrodzeni funkcjonariusze CBA biorący udział w operacji przeciwko posłance PO Beacie Sawickiej - pisze "Dziennik".

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Wymiar pudełkowy

Z Wikipedii

[edytuj] Potrzebne oznaczenia i definicja

[edytuj] Przykład obliczeniowy

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach