Wysokość trójkąta
Z Wikipedii
Wysokość trójkąta – prosta przechodząca przez jeden z wierzchołków trójkąta prostopadła do prostej zawierającej przeciwległy bok zwany podstawą wysokości.
Punkt przecięcia wysokości z podstawą nazywa się spodkiem wysokości. Jest on rzutem prostopadłym wierzchołka na podstawę.
Długością wysokości nazywa się odległość między wierzchołkiem trójkąta a spodkiem odpowiadającej mu wysokości (jest to również odległość wierzchołka trójkąta od niezawierającej go podstawy). Niekiedy słowem wysokość określa się nieściśle odcinek ograniczony wierzchołkiem i spodkiem wysokości albo długość tego odcinka.
Każdy trójkąt ma trzy wysokości. W trójkącie ostrokątnym wszystkie mają odcinek wspólny z wnętrzem trójkąta, w trójkącie prostokątnym dwie z jego wysokości zawierają przyprostokątne, a w trójkącie rozwartokątnym wysokości poprowadzone z kątów ostrych przecinają go tylko w wierzchołku. W trójkącie równobocznym o boku a długości wszystkich wysokości są równej miary, która wynosi 
.
Spis treści |
[edytuj] Konstrukcja
- Nakreślić okrąg o środku w danym wierzchołku trójkąta i promieniu tak dużym, aby przeciął on podstawę w dwóch punktach A,B (większym niż odległość do tej prostej).
- Skonstruować symetralną odcinka AB.
[edytuj] Twierdzenie o wysokościach trójkąta
Wysokości dowolnego trójkąta przecinają się w jednym punkcie.
[edytuj] Dowód geometryczny
Proste przechodzące przez punkty A,B,C równoległe do boków odpowiednio BC,CA,AB wyznaczają trójkąt 
.
Ponieważ 
oraz 
, to czworokąt ABCB' jest równoległobokiem, skąd wynika, iż BC = AB' i podobnie BC = AC'.
Zatem A jest środkiem boku B'C'. Analogicznie wykazuje się, że B jest środkiem A'C', a C środkiem A'B'. Rozpatrywane wysokości trójkąta 
są zarazem symetralnymi boków trójkąta , a więc przecinają się w jednym punkcie (zob. twierdzenie o symetralnych trójkąta).
[edytuj] Dowód wektorowy
- Lemat
Dla dowolnych czterech punktów p,a,b,c (niekoniecznie leżących w wspólnej płaszczyźnie) zachodzi tożsamość
.
Rzeczywiście, ponieważ 
, 
oraz 
, to
.
- Dowód
Niech a,b,c będą wierzchołkami trójkąta, a p będzie punktem przecięcia dwóch wysokości; bez straty ogólności można założyć, że są one opuszczone z wierzchołków a,b. Wówczas pierwsze dwa składniki tożsamości równe są zeru jako iloczyny skalarne wektorów ortogonalnych (prostopadłych), skąd wynika również, że i pozostały składnik jest równy zeru, a więc wektory 
oraz 
są ortogonalne, a więc p leży na wysokości opuszczonej z punktu c.
[edytuj] Ortocentrum
Punkt przecięcia wysokości wspomniany w powyższym twierdzeniu nazywany jest ortocentrum. Wyznaczone jest ono już przez dwie z nich (co można było zaobserwować w dowodach). Ortocentrum jest również jednym z punktów wyznaczających prostą Eulera.
[edytuj] Szczególne przypadki
- W trójkącie ostrokątnym jego ortocentrum leży we wnętrzu trójkąta.
- W trójkącie prostokątnym ortocentrum leży w wierzchołku jego kąta prostego.
- W trójkącie rozwartokątnym proste zawierające jego wysokości przecinają się w punkcie nie należącym do tego trójkąta.
- W trójkącie równobocznym ortocentrum pokrywa się z punktami przecięcia: dwusiecznych kątów, symetralnych boków i środkowych boków tego trójkąta (czyli odpowiednio: środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt, środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie i środkiem ciężkości trójkąta).
[edytuj] Geometrie nieeuklidesowe
Zdefiniowana wyżej wysokość trójkąta oparta jest na pojęciu prostopadłości (odcinków, dwóch par punktów, półprostych, prostych itd.), które jest niezależne od wyboru geometrii stałej krzywizny. Inaczej mówiąc jest pojęciem geometrii absolutnej rozumianej jako „część wspólna” trzech geometrii: parabolicznej (euklidesowej), eliptycznej i hiperbolicznej.
Wyżej zaprezentowane twierdzenie o przecinaniu się wysokości trójkąta obowiązuje więc nie tylko w geometrii euklidesowej, ale również w pozostałych wspomnianych geometriach. Niżej przedstawiono dowód tego twierdzenia dla sfery będącej jednym z modeli geometrii eliptycznej.
[edytuj] Twierdzenie o wysokościach trójkąta sferycznego
Wysokości dowolnego trójkąta sferycznego przecinają się w jednym punkcie.
- Dowód
Punkt s na sferze wyznacza wektor 
zaczepiony w środku sfery, będzie on oznaczany dalej symbolem 
. Wektor ortogonalny do płaszczyzny rozpiętej przez dwa wektory 
dany jest jako ich iloczyn wektorowy 
.
Kąt między dwiema prostymi sferycznymi, czyli okręgami wielkimi jest kątem między płaszczyznami je zawierającymi, czyli kątem między wektorami ortogonalnymi do obu tych płaszczyzn. Tak więc dla dwóch prostych wyznaczonych przez wektory 
oraz 
wystarczy zbadać zachodzenie równości
.
Korzystając z założeń dowodu wektorowego oraz oznaczeń tam użytych wiadomo, iż wektory 
są ortogonalne oraz 
są ortogonalne, czyli
oraz 
.
Ponieważ
dla dowolnych wektorów 
, to skoro dwa spośród trzech powyższych składników są równe zeru, to także trzeci z nich musi być równy zeru, tzn.
,
co oznacza, iż wektory oraz są ortogonalne.
[edytuj] Zobacz też
| Tusk: Chcecie szybkich zmian, dajcie mi sto procent władzy |
Weto jest konstytucyjnym uprawnieniem prezydenta i skłamałbym, jeślibym mówił, że nie spodziewałem się tego - tak premier Donald Tusk komentuje fakt niepodpisania przez Lecha Kaczyńskiego kolejnych ustaw. Jego zdaniem prezydent używa weta jako "broni politycznej". Chcecie szybkiej zmiany - dajcie mi sto procent władzy - oświadczył premier. |
| J. Kaczyński: Polacy zostaną ciężko ograbieni |
- Polityka liberalizmu PO będzie nas drogo kosztowała. Polacy zostaną ciężko ograbieni, gdyż ceny wzrosną, a pensje nie - mówił prezes PiS podczas wizyty na Mazurach i Suwalszczyźnie. Jarosław Kaczyński przekonywał mieszkańców Ełku i Suwałk, że wprowadzenie euro będzie niekorzystne dla Polaków. |
| Prezydent zawetował kolejne ustawy |
Prezydent Lech Kaczyński zawetował kolejne ustawy. Są to: nowelizacja ustawy o zwalczaniu nieuczciwej konkurencji, zmiana w przepisach dotyczących emerytur i rent z FUS oraz ustawa upoważniająca prezydenta do ratyfikacji Konwencji ds. kontaktów z dziećmi. Po raz drugi zawetował ustawę likwidującą tzw. poziomy awans sędziów. Politycy PO, PSL oraz Lewicy uważają, że kolejne weta prezydenta Lecha Kaczyńskiego są podyktowane pobudkami politycznymi. |
| IPN sprawdzi, czy Józef Światło naprawdę nie żyje |
Pion śledczy katowickiego IPN chce zbadać losy podpułkownika Józefa Światły, który w 1953 roku uciekł z Polski na Zachód - poinformował serwis tvp.info. W chwili obecnej prokuratorzy nie mają nawet pewności czy były wicedyrektor Departamentu X Ministerstwa Bezpieczeństwa faktycznie nie żyje. |
| Paweł Machcewicz dyrektorem Muzeum II Wojny Światowej |
Minister Kultury i Dziedzictwa Narodowego Bogdan Zdrojewski powołał Pawła Machcewicza na stanowisko dyrektora Muzeum II Wojny Światowej w Gdańsku - poinformował dział prasowy ministerstwa. |
| Kaczyński: Sikorski szefem NATO? To dobre dla Polski |
Według prezesa PiS Jarosława Kaczyńskiego "byłoby dobrze dla Polski", gdyby Radosław Sikorski lub Aleksander Kwaśniewski objęli stanowisko sekretarza generalnego NATO - bo to wzmacnia pozycję Polski. Zaznaczył, że "bliżej" mu do Sikorskiego. |
| Samobójczyni skoczyła do Odry |
86-letnia mieszkanka Opola popełniła dziś samobójstwo skacząc do Odry. |
| Boże Narodzenie w Opoce |
Rekolekcje on-line, przegląd tradycji adwentowych i świątecznych oraz konkurs MMS na zdjęcie szopki to nowe atrakcje portalu Opoka. |
| IPN ujawnił protokół przesłuchania Graczyka |
IPN opublikował na swych stronach w internecie protokół przesłuchania b. oficera SB Edwarda Graczyka, jako świadka w śledztwie IPN w sprawie fałszowania przez SB akt mających dowodzić, że Lech Wałęsa był agentem o pseudonimie "Bolek". |
| Zaproszenia na wykład Dalajlamy jak świeże bułeczki |
Planowany na 11 grudnia wykład Dalajlamy w Hali Torwar w Warszawie cieszy się bardzo dużym zainteresowaniem. Wszystkie zaproszenia zostały rozdane w ciągu godziny. |
