Wyznacznik

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy
macierz jednostkowa
macierz zerowa
macierz elementarna
macierz schodkowa
macierz trójkątna
macierz klatkowa
macierz symetryczna
macierz diagonalna
macierz idempotentna
macierz nilpotentna
macierz hermitowska
macierz unitarna
macierz ortogonalna
macierz dodatnio określona

Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
potęgowanie macierzy
odwracanie macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona
diagonalizacja
postać Jordana

Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Wyznacznik - w algebrze liniowej, funkcja przyporządkowująca każdej macierzy kwadratowej $M$ , o współczynnikach z pierścienia przemiennego $R$ (w szczególności, ciała liczb rzeczywistych czy zespolonych), pewien element tego pierścienia (oznaczany symbolem $det M$ ), która spełnia następujące warunki:

wartością tej funkcji na macierzy 1x1 $[a]$ jest $a$ ,
jeśli

$M=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{bmatrix}$

jest macierzą kwadratową stopnia n>1, to wartość tej funkcji dla macierzy

M

równa się

$\sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}a_{ij}\det M_{i, j}$ , gdzie przez $M i, j$ oznaczamy macierz stopnia n-1, powstałą z macierzy $M$ poprzez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.

Funkcja o powyższych własnościach wyznaczona jest jednoznacznie. Wyznacznikiem macierzy $M$ nazywamy wartość $det M$ tej funkcji dla macierzy $M$ .

Wyznacznik można również traktować jako funkcję, nie samej macierzy, a jej współczynników

$a_{11}, \ldots, a_{1n},\ldots, a_{n1}, \ldots a_{nn}$ .

Jest on wówczas wielomianem n² zmiennych o współczynnikach z $R$ .

Spis treści

1 Zapis
2 Rozwinięcie Laplace'a
3 Definicja permutacyjna
4 Wyznacznik ogólny
5 Definicja wyznacznika jako odwzorowania wieloliniowego
6 Własności
7 Obliczanie wyznaczników
8 Zastosowanie wyznaczników
9 Dowody niektórych własności
10 Zobacz też
- 10.1 Linki zewnętrzne

[edytuj] Zapis

Wyznacznik macierzy kwadratowej $M$ oznaczany jest czasami przez $| M |$ . Ta notacja może jednak prowadzić do nieporozumień, ponieważ używa się jej do zapisu norm macierzy lub wartości bezwzględnej. Zapis z użyciem pionowych kresek jest jednak szeroko rozpowszechniony w matematyce.

Dla macierzy

$M=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{bmatrix}$ wprowadzamy oznaczenie $|M|=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|$ .

[edytuj] Rozwinięcie Laplace'a

Zobacz więcej w osobnym artykule: Rozwinięcie Laplace'a.

Istnieje jeszcze jeden (równoważny) sposób wprowadzenia pojęcia wyznacznika (zob. definicja permutacyjna poniżej), jednak tak wprowadzona definicja (tzw. definicja rekurencyjna wyznacznika) ukazuje efektywną metodę obliczania wyznaczników macierzy kwadratowych wyższych stopni. W szczególności, prawdziwe jest następujące twierdzenie Laplace'a:

Jeżeli

M

jest macierzą taką jak wyżej oraz i jest liczbą naturalną nie większą niż n, to zachodzą równości

$|M|=\sum_{l=1}^n(-1)^{i+l}a_{il}|M_{i,l}|$ . (rozwinięcie wyznacznika względem i-tego wiersza)

oraz

$|M|=\sum_{l=1}^n(-1)^{i+l}a_{li}|M_{l,i}|$ . (rozwinięcie wyznacznika względem i-tej kolumny).

[edytuj] Definicja permutacyjna

Jeżeli $M$ jest macierzą taką, jak wyżej, to

$\det M=\sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{\rm{Inv}(\sigma)}~a_{1\sigma(1)}\cdot a_{2\sigma(2)}\cdot ... \cdot a_{n\sigma(n)}$ ,

gdzie $S n$ oznacza zbiór wszystkich permutacji zbioru $\{1, 2, \cdots, n\}$ , zaś $Inv(σ)$ oznacza liczbę inwersji danej permutacji $\sigma \in S_n$ .

Przykładowo składnik $a 13 a 21 a 34 a 42$ w wyznaczniku czwartego stopnia ma ujemny znak, gdyż permutacja indeksów

$\tau=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2\end{pmatrix}$ ,

ma trzy inwersje, mianowicie: $(3,1)$ , $(3,2)$ i $(4,2)$ , skąd $Inv(τ) = 3$ oraz $( - 1) 3 = - 1$ .

[edytuj] Wyznacznik ogólny

Wyznacznikiem ogólnym z parametrem p nazywamy:

$\det_p M=\sum_{\sigma \in S_n} (p)^{\rm{Inv}(\sigma)}~a_{1\sigma(1)}\cdot a_{2\sigma(2)}\cdot ... \cdot a_{n\sigma(n)}$ ,

gdzie $M$ , $S n$ , $Inv(σ)$ jak wyżej.

Przykładowo dla p=-1 otrzymujemy wyznacznik, zaś dla p=1 otrzymujemy permanent.

[edytuj] Definicja wyznacznika jako odwzorowania wieloliniowego

Jeżeli macierz $M_{n \times n}(\mathbb{K})$ potraktujemy jako ciąg $n$ kolumn (każda kolumna to element z przestrzeni liniowej $\mathbb{K} ^n$ ), to istnieje dokładnie jedno antysymetryczne odwzorowanie wieloliniowe $det:M_{n \times n}(\mathbb{K})\rightarrow \mathbb{K}$ takie, że $d e t (I) = 1$ . Wartość odwzorowania $d e t (A)$ nazywamy wyznacznikiem macierzy A.

[edytuj] Własności

Transpozycja macierzy nie powoduje zmiany wartości jej wyznacznika.
Zamiana miejscami dwóch dowolnych kolumn lub wierszy zmienia znak wyznacznika, nie zmieniając jego wartości bezwzględnej.
Jeśli dwa wiersze lub dwie kolumny macierzy są proporcjonalne (np. są równe), wyznacznik ma wartość zero.
Jeśli jakiś wiersz jest kombinacją liniową innych wierszy (np. wiersz składa się tylko z zer), wyznacznik ma wartość zero. To samo dotyczy kolumn.
Pomnożenie dowolnej kolumny lub dowolnego wiersza przez stałą mnoży przez tę samą stałą wartość wyznacznika.
Dodając lub odejmując od dowolnego wiersza/kolumny inny wiersz/kolumnę lub kombinacje liniowe innych wierszy/kolumn nie zmieniamy wartości wyznacznika.
Rozwinięcie Laplace'a — wyznacznik stopnia $n$ można rozłożyć według i-tego wiersza zgodnie ze wzorem

$det A = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + ... + a i n A i n$

gdzie $A i j$ jest dopełnieniem algebraicznym elementu $a i j$ , czyli wyznacznikiem macierzy, powstałej po skreśleniu i-tego wiersza oraz j-tej kolumny, pomnożonym przez $( - 1) j + i$ . Analogiczny wzór obowiązuje dla kolumn.
Wyznacznik iloczynu macierzy jest równy iloczynowi wyznaczników: $\det(A \cdot B)=\det A \cdot \det B$ .
Wyznacznik macierzy odwrotnej jest równy odwrotności wyznacznika: $det(A - 1) = (det A) - 1$ .
Zachodzi $\det(k \cdot A)=k^n \cdot \det A$ , gdzie $k$ jest dowolną liczbą, $n$ stopniem macierzy $A$ .

[edytuj] Obliczanie wyznaczników

Wyznacznik drugiego stopnia obliczamy według łatwego wzoru, wynikającego wprost z definicji permutacyjnej wyznacznika:

$\det A=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

Wyznacznik trzeciego stopnia obliczamy według tzw. reguły Sarrusa:

$\det A=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}$

W przypadku macierzy wyższych stopni, a także niejednokrotnie w przypadku macierzy stopnia trzeciego, wygodniej jest stosować twierdzenie Laplace'a. Przykład obliczenia wyznacznika czwartego stopnia znajduje się we wspomnianym artykule.

Wyznacznik macierzy można też obliczyć stosując metodę eliminacji Gaussa. Wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi wyrazów na jej przekątnej, jest więc łatwy do obliczenia. Każdą macierz można sprowadzić do macierzy trójkątnej za pomocą operacji elementarnych, pamiętając że operacje te mają następujący wpływ na wyznacznik:

Dodanie wielokrotności jednego wiersza (kolumny, odpowiednio) do innego wiersza (innej kolumny, odpowiednio) nie zmienia wartości wyznacznika;
Pomnożenie wiersza (kolumny) przez liczbę powoduje pomnożenie wyznacznika przez tę liczbę;
Zamiana miejscami dwóch wierszy, tak jak i zamiana miejscami dwóch kolumn, zmienia znak wyznacznika.

[edytuj] Zastosowanie wyznaczników

Wyznaczniki pojawiają się w wielu miejscach w matematyce, np. przy:

rozwiązywaniu układów równań liniowych,
odwracaniu macierzy,
obliczaniu objętości brył (np. czworościanu), a więc m.in. w analizie,
badaniu wielomianu Hurwitza (stabilność systemu),
zamianie zmiennych w całkach wielokrotnych
do sprawdzenia czy punkt znaleziony w zadaniu ekstremalnym jest minimum czy maksimum z kryterium Sylwestera,

i w wielu, wielu innych miejscach.

[edytuj] Dowody niektórych własności

Przyjmijmy następujące własności wyznacznika:

pomnożenie kolumny przez $x$ , mnoży wyznacznik macierzy przez $x$
dodanie jednej kolumny do drugiej nie zmienia wartości wyznacznika

Ponieważ bardzo wiele operacji można zbudować z mnożeń przez stałą i dodawań kolumn (wierszy), możemy z tych dwóch właściwości wyprowadzić wiele innych własności.

W poniższych przykładach będziemy budować kolejno macierze $M 1$ , $M 2$ , $M 3$ itd., a przez $a i, b i, c i$ będziemy oznaczać pewne kolumny $i$ -tej macierzy. Wszystkie kolumny o których nic nie powiedziano są takie same jak w poprzedniej macierzy.

Odjęcie jednej kolumny od drugiej nie zmienia wartości wyznacznika:

Zamieńmy znak w kolumnie $a$ :

$a 2 = - a 1$ .

$b 2 = b 1$

$det M 2 = - det M 1$
Dodajmy kolumnę $a$ do kolumny $b$ :

$a 3 = a 2 = - a 1$ .

$b 3 = b 2 + a 2 = b 1 - a 1$

$det M 3 = det M 2 = - det M 1$
Zamieńmy ponownie znak w kolumnie $a$ :

$a 4 = - a 3 = a 1$ .

$b 4 = b 3 = b 1 - a 1$

$det M 4 = - det M 3 = det M 1$

Dodanie dowolnej wielokrotności jednej kolumny do drugiej nie zmienia wartości wyznacznika:

Pomnóżmy kolumnę $a$ przez $x$ :

$a 2 = x a 1$ .

$b 2 = a 1$

$det M 2 = x det M 1$
Dodajmy kolumnę $a$ do kolumny $b$ :

$a 3 = a 2 = x a 1$ .

$b 3 = b 2 + a 2 = b 1 + x a 1$

$det M 3 = det M 2 = x det M 1$
Pomnóżmy kolumnę $a$ przez $\frac 1 x$ :

$a^4 = \frac 1 x a^3 = \frac 1 x x a^1 = a^1$ .

$b 4 = b 3 = b 1 + x a 1$

$\det M^4 = \frac 1 x \det M^3 = \frac 1 x x \det M^1 = \det M^1$

W powyższym przykładzie założyliśmy, że istnieje odwrotność $x$ , a zatem $x$ jest różne od 0. Jeśli $x$ jest równe 0, dodanie 0 razy kolumna to kolumna złożona z samych zer, a dodanie kolumny zer do innej kolumny nie zmienia macierzy, więc wyznacznik pozostaje ten sam.

Zamiana dwóch kolumn miejscami zmienia znak wyznacznika:

Dodajmy kolumnę $a$ do kolumny $b$ :

$a 2 = a 1$ .

$b 2 = a 1 + b 1$

$det M 2 = det M 1$
Zamieńmy znak w kolumnie $a$ :

$a 3 = - a 2 = - a 1$ .

$b 3 = b 2 = a 1 + b 1$

$det M 3 = - det M 2 = - det M 1$
Dodajmy kolumnę $b$ do kolumny $a$ :

$a 4 = a 3 + b 3 = - a 1 + a 1 + b 1 = b 1$ .

$b 4 = b 3 = a 1 + b 1$

$det M 4 = det M 3 = - det M 1$
Zamieńmy znak w kolumnie $b$ :

$a 5 = a 4 = b 1$ .

$b 5 = - b 4 = - a 1 - b 1$

$det M 5 = - det M 4 = det M 1$
Dodajmy kolumnę $a$ do kolumny $b$ :

$a 6 = a 5 = b 1$ .

$b 6 = a 5 + b 5 = b 1 - a 1 - b 1 = - a 1$

$det M 6 = det M 5 = det M 1$
Zamieńmy znak w kolumnie $b$ :

$a 7 = a 6 = b 1$ .

$b 7 = - b 6 = a 1$

$det M 7 = - det M 6 = - det M 1$

Po tej serii operacji (którą można uprościć korzystając z udowodnionej wyżej własności, że odejmowanie kolumn nie zmienia wyznacznika), wartości w kolumnach $a$ i $b$ zamieniły się miejscami, a wyznacznik zmienił znak.

Analogicznie wyprowadza się te zależności dla wierszy.

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Linki zewnętrzne

Skrypt liczący m.in. wyznacznik macierzy

Kategoria: Macierze

Tusk: Chcecie szybkich zmian, dajcie mi sto procent władzy

Weto jest konstytucyjnym uprawnieniem prezydenta i skłamałbym, jeślibym mówił, że nie spodziewałem się tego - tak premier Donald Tusk komentuje fakt niepodpisania przez Lecha Kaczyńskiego kolejnych ustaw. Jego zdaniem prezydent używa weta jako "broni politycznej". Chcecie szybkiej zmiany - dajcie mi sto procent władzy - oświadczył premier.

J. Kaczyński: Polacy zostaną ciężko ograbieni

- Polityka liberalizmu PO będzie nas drogo kosztowała. Polacy zostaną ciężko ograbieni, gdyż ceny wzrosną, a pensje nie - mówił prezes PiS podczas wizyty na Mazurach i Suwalszczyźnie. Jarosław Kaczyński przekonywał mieszkańców Ełku i Suwałk, że wprowadzenie euro będzie niekorzystne dla Polaków.

Prezydent zawetował kolejne ustawy

Prezydent Lech Kaczyński zawetował kolejne ustawy. Są to: nowelizacja ustawy o zwalczaniu nieuczciwej konkurencji, zmiana w przepisach dotyczących emerytur i rent z FUS oraz ustawa upoważniająca prezydenta do ratyfikacji Konwencji ds. kontaktów z dziećmi. Po raz drugi zawetował ustawę likwidującą tzw. poziomy awans sędziów. Politycy PO, PSL oraz Lewicy uważają, że kolejne weta prezydenta Lecha Kaczyńskiego są podyktowane pobudkami politycznymi.

IPN sprawdzi, czy Józef Światło naprawdę nie żyje

Pion śledczy katowickiego IPN chce zbadać losy podpułkownika Józefa Światły, który w 1953 roku uciekł z Polski na Zachód - poinformował serwis tvp.info. W chwili obecnej prokuratorzy nie mają nawet pewności czy były wicedyrektor Departamentu X Ministerstwa Bezpieczeństwa faktycznie nie żyje.

Paweł Machcewicz dyrektorem Muzeum II Wojny Światowej

Minister Kultury i Dziedzictwa Narodowego Bogdan Zdrojewski powołał Pawła Machcewicza na stanowisko dyrektora Muzeum II Wojny Światowej w Gdańsku - poinformował dział prasowy ministerstwa.

Kaczyński: Sikorski szefem NATO? To dobre dla Polski

Według prezesa PiS Jarosława Kaczyńskiego "byłoby dobrze dla Polski", gdyby Radosław Sikorski lub Aleksander Kwaśniewski objęli stanowisko sekretarza generalnego NATO - bo to wzmacnia pozycję Polski. Zaznaczył, że "bliżej" mu do Sikorskiego.

Samobójczyni skoczyła do Odry

86-letnia mieszkanka Opola popełniła dziś samobójstwo skacząc do Odry.

Boże Narodzenie w Opoce

Rekolekcje on-line, przegląd tradycji adwentowych i świątecznych oraz konkurs MMS na zdjęcie szopki to nowe atrakcje portalu Opoka.

IPN ujawnił protokół przesłuchania Graczyka

IPN opublikował na swych stronach w internecie protokół przesłuchania b. oficera SB Edwarda Graczyka, jako świadka w śledztwie IPN w sprawie fałszowania przez SB akt mających dowodzić, że Lech Wałęsa był agentem o pseudonimie "Bolek".

Zaproszenia na wykład Dalajlamy jak świeże bułeczki

Planowany na 11 grudnia wykład Dalajlamy w Hali Torwar w Warszawie cieszy się bardzo dużym zainteresowaniem. Wszystkie zaproszenia zostały rozdane w ciągu godziny.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Wyznacznik

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Zapis

[edytuj] Rozwinięcie Laplace'a

[edytuj] Definicja permutacyjna

[edytuj] Wyznacznik ogólny

[edytuj] Definicja wyznacznika jako odwzorowania wieloliniowego

[edytuj] Własności

[edytuj] Obliczanie wyznaczników

[edytuj] Zastosowanie wyznaczników

[edytuj] Dowody niektórych własności

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Linki zewnętrzne

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach