Złożenie funkcji

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Skocz do: nawigacji, szukaj

Spis treści

1 Definicja
2 Własności
- 2.1 Przykład
3 Struktura grupy
- 3.1 Składanie funkcji samej ze sobą
4 Zobacz też

Złożenie (superpozycja) funkcji – funkcja zwracająca wartość pewnej funkcji w punkcie zadanym za pomocą innej.

[edytuj] Definicja

Niech $f: X \to Y$ oraz $g: Y \to Z$ będą dowolnymi funkcjami. Ich złożeniem nazywamy funkcję $h: X \to Z$ taką, że

$h(x)=g\left(f(x)\right)$ .

Funkcje $f$ oraz $g$ nazywa się funkcjami składanymi, zaś $h$ nosi również nazwę funkcji złożonej.

Składanie dwóch funkcji można traktować jako operator dwuargumentowy, oznaczany $\circ$ . Dla powyższych funkcji

$h = g \circ f$ ,

zatem

$h(x) = g\left(f(x)\right) \equiv (g \circ f)(x)$ .

Ważną rzeczą jest, aby zaznaczyć iż $g \circ f$ , czytamy "od tyłu". Ten zapis oznacza, że składamy funkcje $f$ i $g$ .

[edytuj] Własności

Łączność operatora składania oznacza, że $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ , czyli złożenie funkcji nie zależy od kolejności obliczania kolejnych złożeń. Stąd uprawniony jest zapis $f \circ g \circ h$ .

Z istnienia złożenia $g \circ f$ nie wynika istnienie $f \circ g$ . Jest to możliwe wtedy, gdy zbiór $X$ jest tożsamy z $Z$ . Mamy wówczas $f \circ g\colon Y \to Y$ , w takim przypadku $f \circ g$ na ogół różni się od funkcji $g \circ f$ .

[edytuj] Przykład

Niech $f\colon \mathbb R \to \mathbb R, f(x) = 2x+1$ i $g\colon \mathbb R \to \mathbb R, g(x) = x^2$ . Wtedy

$(g \circ f)\colon \mathbb R \to \mathbb R,\; (g \circ f)(x) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$ , natomiast

$(f \circ g)\colon \mathbb R \to \mathbb R,\; (f \circ g)(x) = 2(x^2) + 1 = 2x^2 + 1$ .

Widać, iż $g \circ f$ jest inna niż $f \circ g$ .

[edytuj] Struktura grupy

Zobacz więcej w osobnym artykule: grupa permutacji.

Operacja składania funkcji jest jednym z najważniejszych działań na funkcjach: na wielu interesujących matematyków zbiorach funkcji w naturalny sposób określa ona strukturę półgrupy lub grupy. Przykłady:

$Σ X$ , czyli grupa symetryczna danego zbioru $X$ , oznaczana również przez $S X$ albo $\operatorname{Sym}(X)$ , czyli grupa wszystkich bijekcji $f\colon X \to X$ .
Zbiór wszystkich odwzorowań $f\colon X \to X$ jest połgrupą, a nawet monoidem, w którym rolę elementu neutralnego pełni odwzorowanie tożsamościowe.

[edytuj] Składanie funkcji samej ze sobą

Jeżeli $f\colon X \to X$ , to można wykonać złożenie $f$ samą ze sobą – otrzymaną funkcję $f \circ f$ oznacza się zazwyczaj $f 2$ . Analogicznie, $f^3 = f \circ f \circ f$ , itd. Takie wielokrotne składanie nazywa się iteracją.

Dodatkowo funkcję $f$ , dla której $(f \circ f)(x) = x$ nazywamy inwolucją.

Tradycyjnie $f 2$ jest czasami rozumiane w inny sposób: mianowicie jako zwykły iloczyn funkcji (lub iloczyn punktowy), czyli $f(x) \cdot f(x)$ . W szczególności umowa ta dotyczy funkcji trygonometrycznych, np. we wzorze: $sin 2 x + cos 2 x = 1$ zapis $sin 2 x$ oznacza właśnie $\sin x \cdot \sin x = (\sin x)^2$ . Choć zaleca się zapis nawiasowy, to zwykle nie prowadzi to jednak do większych nieporozumień.

[edytuj] Zobacz też

Kategorie: Funkcje matematyczne • Działania dwuargumentowe

Tusk: Awantura o samolot i "Słońce Peru" to porażki roku

Awantura o rządowy samolot dla prezydenta Lecha Kaczyńskiego przed październikowym szczytem UE w Brukseli - to zdaniem premiera Donalda Tuska największy błąd, jaki popełnił w ostatnim roku.

Tusk: Chcecie szybkich zmian, dajcie mi sto procent władzy

Weto jest konstytucyjnym uprawnieniem prezydenta i skłamałbym, jeślibym mówił, że nie spodziewałem się tego - tak premier Donald Tusk komentuje fakt niepodpisania przez Lecha Kaczyńskiego kolejnych ustaw. Jego zdaniem prezydent używa weta jako "broni politycznej". Chcecie szybkiej zmiany - dajcie mi sto procent władzy - oświadczył premier.

J. Kaczyński: Polacy zostaną ciężko ograbieni

- Polityka liberalizmu PO będzie nas drogo kosztowała. Polacy zostaną ciężko ograbieni, gdyż ceny wzrosną, a pensje nie - mówił prezes PiS podczas wizyty na Mazurach i Suwalszczyźnie. Jarosław Kaczyński przekonywał mieszkańców Ełku i Suwałk, że wprowadzenie euro będzie niekorzystne dla Polaków.

Prezydent zawetował kolejne ustawy

Prezydent Lech Kaczyński zawetował kolejne ustawy. Są to: nowelizacja ustawy o zwalczaniu nieuczciwej konkurencji, zmiana w przepisach dotyczących emerytur i rent z FUS oraz ustawa upoważniająca prezydenta do ratyfikacji Konwencji ds. kontaktów z dziećmi. Po raz drugi zawetował ustawę likwidującą tzw. poziomy awans sędziów. Politycy PO, PSL oraz Lewicy uważają, że kolejne weta prezydenta Lecha Kaczyńskiego są podyktowane pobudkami politycznymi.

IPN sprawdzi, czy Józef Światło naprawdę nie żyje

Pion śledczy katowickiego IPN chce zbadać losy podpułkownika Józefa Światły, który w 1953 roku uciekł z Polski na Zachód - poinformował serwis tvp.info. W chwili obecnej prokuratorzy nie mają nawet pewności czy były wicedyrektor Departamentu X Ministerstwa Bezpieczeństwa faktycznie nie żyje.

Paweł Machcewicz dyrektorem Muzeum II Wojny Światowej

Minister Kultury i Dziedzictwa Narodowego Bogdan Zdrojewski powołał Pawła Machcewicza na stanowisko dyrektora Muzeum II Wojny Światowej w Gdańsku - poinformował dział prasowy ministerstwa.

Kaczyński: Sikorski szefem NATO? To dobre dla Polski

Według prezesa PiS Jarosława Kaczyńskiego "byłoby dobrze dla Polski", gdyby Radosław Sikorski lub Aleksander Kwaśniewski objęli stanowisko sekretarza generalnego NATO - bo to wzmacnia pozycję Polski. Zaznaczył, że "bliżej" mu do Sikorskiego.

Samobójczyni skoczyła do Odry

86-letnia mieszkanka Opola popełniła w poniedziałek samobójstwo skacząc do Odry.

Boże Narodzenie w Opoce

Rekolekcje on-line, przegląd tradycji adwentowych i świątecznych oraz konkurs MMS na zdjęcie szopki to nowe atrakcje portalu Opoka.

Zaproszenia na wykład Dalajlamy jak świeże bułeczki

Planowany na 11 grudnia wykład Dalajlamy w Hali Torwar w Warszawie cieszy się bardzo dużym zainteresowaniem. Wszystkie zaproszenia zostały rozdane w ciągu godziny.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Złożenie funkcji

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicja

[edytuj] Własności

[edytuj] Przykład

[edytuj] Struktura grupy

[edytuj] Składanie funkcji samej ze sobą

[edytuj] Zobacz też

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach