Złoty podział

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Ten artykuł dotyczy matematyki. Zobacz też: inne znaczenie tego wyrażenia.

Złoty podział, podział harmoniczny, boska proporcja, łac. sectio aurea — podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej (stosunek ten nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą φ - czyt. "fi"). Innymi słowy: długość dłuższej części ma być średnią geometryczną długości krótszej części i całego odcinka.

Liczba φ
System dwójkowy	1.1001111000110111011...
System dziesiętny	1.6180339887498948482...
System szesnastkowy	1.9E3779B97F4A7C15F39...
Ułamek łańcuchowy	$[1; 1, 1, 1, \dots]$ $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\ddots}}}}$
Ułamek zwykły	$\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

φ = (a+b) : a = a : b

Z rozdzielenia w powyższej równości dzielenia względem dodawania wynika

$1 + \frac{b}{a} = \frac{a}{b}$

czyli

1 + 1/φ = φ

Mnożąc obustronnie przez φ i przegrupowując wyrazy, równość powyższą sprowadza się do postaci ogólnej równania kwadratowego:

φ² – φ – 1 = 0

Ma ono dwa rozwiązania rzeczywiste:

$\frac{1\pm\sqrt 5}{2}$

jedno z nich jest dodatnie:

$\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}618033989$

Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych, itp. Znany był już w starożytności i przypisywano mu wyjątkowe walory estetyczne. Stosowano go np. w planach budowli na Akropolu.

Spis treści

1 Złota liczba
2 Przykłady
3 Złoty prostokąt
- 3.1 Przykład konstrukcji
4 Zobacz też
5 Linki zewnętrzne

[edytuj] Złota liczba

Liczba φ bywa nazywana złotą liczbą

Kolejne przybliżenia liczby złotej można otrzymać obliczając ilorazy sąsiednich liczb Fibonacciego:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,...

co daje kolejno:

0, 1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89... → 1/φ

Już ostatni z wypisanych tu ułamków daje przybliżenie złotej liczby z dokładnością do 0,001.

Równanie rekurencyjne

φ(0)=1.0;
φ(n+1)=1.0+1.0/φ(n);

Czasami tym samym terminem określa się liczbę odwrotną:

$\frac{1}{\varphi}=\frac{2}{1+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\varphi-1\approx 0{,}618033989$

[edytuj] Przykłady

Złoty podział w pięciokącie foremnym.

Punkt przecięcia przekątnych w pięciokącie foremnym dzieli je według złotego podziału.
Korzystając z twierdzenia Ptolemeusza można wykazać, że bok $a$ pięciokąta foremnego stanowi złotą część jego przekątnej $b$ :

$b={{(1+\sqrt{5})}\over 2}\cdot a.$

Bok dziesięciokąta foremnego ma długość równą długości dłuższego odcinka otrzymanego ze złotego podziału promienia okręgu opisanego na tym dziesięciokącie.
$\operatorname{tg} \left(\frac{1}{2} \operatorname{arctg} 2 \right)=\frac{1}{\varphi}$ .

[edytuj] Złoty prostokąt

Jest to prostokąt, którego boki pozostają w złotym stosunku. Charakteryzuje się tym, że po dorysowaniu doń kwadratu o boku równym dłuższemu bokowi prostokąta otrzymuje się nowy, większy złoty prostokąt. Wynika to wprost z definicyjnej własności liczby φ – jeśli na początku:

$\frac{a}{b} = \varphi$

(na rysunku poniżej prostokąt oznaczony kolorem czerwonym), to po dobudowaniu kwadratu na dłuższym boku (zaznaczony na czarno) otrzymuje się prostokąt o bokach a+b i a:

$\frac{a+b}{a} = \varphi.$

Odpowiednio w drugą stronę, odcinając od (dużego) złotego prostokąta kwadrat o boku równym krótszemu bokowi prostokąta (czarny) otrzymuje się prostokąt (czerwony), którego boki nadal pozostają w złotym stosunku.

Powtarzając te czynności otrzymuje się kolejne coraz większe lub coraz mniejsze złote prostokąty.

[edytuj] Przykład konstrukcji

Powyżej zilustrowano jeden z wielu sposobów wyznaczenia złotego podziału. Kolejne kroki konstrukcji:

Zbuduj kwadrat o dowolnie wybranym boku a.
Znajdź środek jednego z boków kwadratu (na rysunku jest to środek dolnego boku).
Weź odcinek łączący środek boku z końcem boku przeciwległego (na rysunku – odcinek c) i odłóż go ze środka boku na prostej, w której zawiera się ten bok (czynność na rysunku zaznaczona łukiem okręgu).
Część odłożonego odcinka, wystająca poza bok kwadratu, wyznacza szukaną długość b.

Długości początkowego odcinka a i znalezionego b pozostają w złotym stosunku, a/b=φ, wyznaczają więc złoty podział skonstruowanego mimochodem odcinka a+b.

Algebraiczny dowód poprawności konstrukcji

Znaleziony w trzecim kroku odcinek c jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych a i a/2. Na mocy twierdzenia Pitagorasa:

$c^2 = a^2 + \left( \frac{a}{2}\right)^2 = \frac{5}{4}\;a^2$

zatem jego długość:

$c = \frac{\sqrt 5}{2}\;a.$

Odkładając odcinek c w prawo ze środka boku kwadratu otrzymaliśmy odcinek (dłuższy bok prostokąta) o długości:

$\frac{a}{2} + c$

zaś za b przyjęliśmy część (czerwoną) pozostałą po skróceniu o odcinek a (czarny):

$b = \frac{a}{2} + c - a$

czyli:

$b = c - \frac{a}{2} = \frac{\sqrt 5 - 1}{2}\;a.$

Stosunek długości a:b wynosi:

$\frac{a}{b} = \frac{2}{\sqrt 5 - 1} = \frac{\sqrt 5 + 1}{2} = \varphi$

czyli równy jest złotej liczbie. Konstrukcja prowadzi więc do złotego podziału.

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Linki zewnętrzne

p • d • e

stałe matematyczne

Lista stałych matematycznych • Pi • Podstawa logarytmu naturalnego • Stała Eulera • Złoty podział • Srebrny podział • Stała Chinczyna • Stała Apéry'ego • Stała Feigenbauma • Stała de Bruijna-Newmana • Stała Meissela-Mertensa • Stałe Bruna • Stała Catalana • Stała Legendre'a • Stała Sierpińskiego

Kategorie: Geometria • Stałe matematyczne

Tusk: Awantura o samolot i "Słońce Peru" to porażki roku

Awantura o rządowy samolot dla prezydenta Lecha Kaczyńskiego przed październikowym szczytem UE w Brukseli - to zdaniem premiera Donalda Tuska największy błąd, jaki popełnił w ostatnim roku.

Tusk: Chcecie szybkich zmian, dajcie mi sto procent władzy

Weto jest konstytucyjnym uprawnieniem prezydenta i skłamałbym, jeślibym mówił, że nie spodziewałem się tego - tak premier Donald Tusk komentuje fakt niepodpisania przez Lecha Kaczyńskiego kolejnych ustaw. Jego zdaniem prezydent używa weta jako "broni politycznej". Chcecie szybkiej zmiany - dajcie mi sto procent władzy - oświadczył premier.

J. Kaczyński: Polacy zostaną ciężko ograbieni

- Polityka liberalizmu PO będzie nas drogo kosztowała. Polacy zostaną ciężko ograbieni, gdyż ceny wzrosną, a pensje nie - mówił prezes PiS podczas wizyty na Mazurach i Suwalszczyźnie. Jarosław Kaczyński przekonywał mieszkańców Ełku i Suwałk, że wprowadzenie euro będzie niekorzystne dla Polaków.

Prezydent zawetował kolejne ustawy

Prezydent Lech Kaczyński zawetował kolejne ustawy. Są to: nowelizacja ustawy o zwalczaniu nieuczciwej konkurencji, zmiana w przepisach dotyczących emerytur i rent z FUS oraz ustawa upoważniająca prezydenta do ratyfikacji Konwencji ds. kontaktów z dziećmi. Po raz drugi zawetował ustawę likwidującą tzw. poziomy awans sędziów. Politycy PO, PSL oraz Lewicy uważają, że kolejne weta prezydenta Lecha Kaczyńskiego są podyktowane pobudkami politycznymi.

IPN sprawdzi, czy Józef Światło naprawdę nie żyje

Pion śledczy katowickiego IPN chce zbadać losy podpułkownika Józefa Światły, który w 1953 roku uciekł z Polski na Zachód - poinformował serwis tvp.info. W chwili obecnej prokuratorzy nie mają nawet pewności czy były wicedyrektor Departamentu X Ministerstwa Bezpieczeństwa faktycznie nie żyje.

Paweł Machcewicz dyrektorem Muzeum II Wojny Światowej

Minister Kultury i Dziedzictwa Narodowego Bogdan Zdrojewski powołał Pawła Machcewicza na stanowisko dyrektora Muzeum II Wojny Światowej w Gdańsku - poinformował dział prasowy ministerstwa.

Kaczyński: Sikorski szefem NATO? To dobre dla Polski

Według prezesa PiS Jarosława Kaczyńskiego "byłoby dobrze dla Polski", gdyby Radosław Sikorski lub Aleksander Kwaśniewski objęli stanowisko sekretarza generalnego NATO - bo to wzmacnia pozycję Polski. Zaznaczył, że "bliżej" mu do Sikorskiego.

Samobójczyni skoczyła do Odry

86-letnia mieszkanka Opola popełniła w poniedziałek samobójstwo skacząc do Odry.

Boże Narodzenie w Opoce

Rekolekcje on-line, przegląd tradycji adwentowych i świątecznych oraz konkurs MMS na zdjęcie szopki to nowe atrakcje portalu Opoka.

Zaproszenia na wykład Dalajlamy jak świeże bułeczki

Planowany na 11 grudnia wykład Dalajlamy w Hali Torwar w Warszawie cieszy się bardzo dużym zainteresowaniem. Wszystkie zaproszenia zostały rozdane w ciągu godziny.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Złoty podział

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Złota liczba

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Złoty prostokąt

[edytuj] Przykład konstrukcji

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Linki zewnętrzne

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach